% !TeX TXS-program:compile = txs:///pdflatex
\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
\usepackage[margin=2cm,includeheadfoot]{geometry}
\usepackage{ProfLycee}
\useproflyclib{ecritures,tikz2d,tikz3d,cas}
\RequirePackage[upright]{fourier}
\usepackage{amsmath,amssymb,amstext}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand\ttdefault{lmtt}
\usepackage{cabin,decimalcomma,ibrackets,esvect,bm,scontents}
\usepackage{hyperref,lastpage,enumitem,fancyhdr}
\usepackage{tabularx,multicol,wrapstuff,twemojis,logoetalab}
\usepackage[nonpgfplots]{tkz-grapheur}
\usepackage[pastableur]{customenvs}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{hobby}
\usepackage{babel}
\newcommand{\session}{2026}
\newcommand{\annee}{2026}
\newcommand{\serie}{Gé.}
\newcommand{\lieu}{France}
\newcommand{\jour}{9}
\newcommand{\mois}{septembre}
\newcommand{\numsujet}{2}
\newcommand{\codesujet}{26-MATJ2ME3}
\newcommand{\nomfichier}{[BAC \serie{} \annee{}] \lieu{} (\mois{} \annee)}
\def\listenumexos{1,2,3,4}
\setsepchar{,}
\def\repartpts{5,5,5,5}\readlist*\nbptsexo{\repartpts}
\def\repartthemes{%
{Probabilités / Loi binomiale / Suite récurrente},
{Fonctions / Étude complète / Aire},
{Vrai ou Faux},
{Géométrie dans l'espace}
}\readlist*\themessexo{\repartthemes}
\title{\nomfichier}
\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfborder=0 0 0,pdfstartview=FitH}
%transcription principale faite par claude.ai
\lhead{\scriptsize\sffamily BAC \serie{} \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \lieu{} - Sujet \numsujet}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
\lfoot{\scriptsize\sffamily \affloetalab[Legende,TexteLegende={Licence Etalab 2.0}]}
\cfoot{\scriptsize\sffamily \codesujet}
\rfoot{\scriptsize\sffamily -- \thepage{}/{}\pageref{LastPage} --}
\setlength{\parindent}{0pt}
\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
\newcommand\Rij{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath}\right)}
\newcommand\Rijk{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath},\,\vect{k}\right)}
\newcommand\intervOO[2]{\left]#1;#2\right[}
\newcommand\intervFF[2]{\left[#1;#2\right]}
\newcommand\intervOF[2]{\left]#1;#2\right]}
\newcommand\intervFO[2]{\left[#1;#2\right[}
\newcommand\pta[1]{(#1)}
\newcommand\suiten[1][u]{\left(#1_n\right)}
\newcommand\vect[1]{\vv{#1}}
\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
\newlength\tmpemojipen
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
\foreach \i in {1,...,#1}{%
\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[\i]} points)}\\%
\hspace*{5mm}\textcolor{purple}{\large\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
}%
\end{tcolorbox}%
\vspace*{0.5cm}
\settowidth\tmpemojipen{\hbox{\twemoji[height=1.5cm]{memo}}}%
\begin{tcolorbox}[enhanced,width=0.875\linewidth,colframe=red!50!black,colback=red!1,flush right,fontupper=\footnotesize\cabin,left=1.25\tmpemojipen,underlay={\draw ([xshift=0.625\tmpemojipen]frame.west) node[] {\twemoji[height=1.5cm]{memo}} ;}]
L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\
L'usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.\\
La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. \\
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
\end{tcolorbox}%
\vspace*{0.5cm}
\hfill\pictostamp[radius=1.75cm,maincolor=violet!50!black]{\codesujet}\hfill\null
}
% Script Python exercice 1
\begin{scontents}[overwrite,write-out=me2026rj2exo1.py]
def basket():
p = 0.6
n = 1
while .... :
n = n + 1
p = .....
return ...
\end{scontents}
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=5cm]{fr.v1}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}
\vspace{1cm}
\sujetbaclabelexos{4}
\pagebreak
%===============================================================
\hypertarget{exon1}{}\section*{Exercice 1\dotfill{}(\nbptsexo[1] points)}
%===============================================================
\medskip
\textbf{Partie A}
\medskip
Une joueuse de basket constate qu'elle réussit $60\,\%$ de ses lancers francs au cours d'une séance d'entraînement.
En se basant sur ces statistiques, on modélise la situation comme une succession d'épreuves aléatoires indépendantes.
\begin{enumerate}
\item Cette joueuse effectue cinq lancers consécutifs.
\begin{enumerate}
\item Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de lancers réussis.
Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $P(X \geqslant 4)$.
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\item On suppose maintenant que cette sportive doit effectuer $n$ lancers, où $n$ est un entier naturel non nul.
Soit $Y$ la variable aléatoire donnant le nombre de lancers réussis. On admet que la variable aléatoire $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0{,}6$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $P(Y \geqslant 1) = 1 - 0{,}4^n$.
\item En déduire le nombre $n$ de lancers à partir duquel la probabilité d'en réussir au moins un dépasse $0{,}9999$.
\item Recopier et compléter le script de la fonction \textsf{Python} suivante afin qu'elle permette de retrouver le résultat de la question \textbf{2.b}.
\medskip
\CodePythonLstFichierAlt[6cm]{center}{me2026rj2exo1.py}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie B}
\medskip
Pour un autre joueur, on remarque que :
\begin{itemize}
\item lorsqu'il a réussi un lancer franc, il réussit le suivant avec une probabilité de $0{,}7$.
\item lorsqu'il a raté un lancer franc, il réussit le suivant avec une probabilité de $0{,}4$.
\end{itemize}
On considère que la probabilité de réussir son premier lancer est de $0{,}5$.
On note $G_1$ l'événement : \og le joueur réussit son premier lancer franc \fg.
On a donc $P(G_1) = 0{,}5$.
On note $G_2$ l'événement : \og le joueur réussit son deuxième lancer franc \fg.
\begin{enumerate}
\item Calculer $P(G_2)$. On pourra utiliser un arbre de probabilité.
\end{enumerate}
Soit $n$ un entier naturel non nul.
On note $G_n$ l'évènement \og le joueur réussit le $n$-ième lancer franc \fg{} et $p_n$ la probabilité de $G_n$. On définit ainsi une suite $(p_n)$ de réels.
On admet que pour tout $n \geqslant 1$, $p_{n+1} = 0{,}3p_n + 0{,}4$.
\begin{enumerate}[resume]
\item
\begin{enumerate}
\item En utilisant un raisonnement par récurrence, démontrer que pour tout $n \geqslant 1$, $p_n \leqslant p_{n+1}$.
\item Quel argument permet d'affirmer que la suite $(p_n)$ est majorée ?
\item En déduire que la suite $(p_n)$ est convergente.
\end{enumerate}
\item On admet que la limite de $(p_n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$ est $\dfrac{4}{7}$.
Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\vspace*{1cm}
%===============================================================
\hypertarget{exon2}{}\section*{Exercice 2\dotfill{}(\nbptsexo[2] points)}
%===============================================================
\medskip
Soit $f$ la fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ définie par $f(x) = (3x-1)\e^{-x} + 2$.
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vect{\imath},\vect{\jmath})$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
Interpréter graphiquement ce résultat.
\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que, pour tout nombre réel $x$, $f'(x) = (4-3x)\e^{-x}$.
\item Étudier le signe de la dérivée et en déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$.
On notera $\alpha$ cette solution.
\item Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
\item En déduire le tableau de signes de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
\item Soit la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $F(x) = (-3x-2)\e^{-x} + 2x$.
On admet que la fonction $F$ est une primitive de $f$.
Calculer, en unités d'aire, l'aire du domaine limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=0$ et $x=2$.
\end{enumerate}
\item On admet que la droite d'équation $y = 4x+1$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
Vérifier que, pour tout réel $x$, $(3x-1)\e^{-x} + 2 \leqslant 4x+1$.
\end{enumerate}
\pagebreak
%===============================================================
\hypertarget{exon3}{}\section*{Exercice 3\dotfill{}(\nbptsexo[3] points)}
%===============================================================
\medskip
\textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Les affirmations sont indépendantes.}
\medskip
\begin{enumerate}
\item On considère l'équation différentielle $(E)$ : $y' - 2y = (x-3)\e^x$, où $y$ est une fonction de la variable $x$, définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.
\smallskip
\textbf{Affirmation 1 :}
La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = (x-2)\e^x$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$, par $f(x) = (2x+1)\cos(x)$.
On intègre par parties $\displaystyle\int_0^\pi f(x)\,\dx$.
\smallskip
\textbf{Affirmation 2 :}%
\[ \int_0^\pi f(x)\,\dx = -4\pi \]
\item On considère l'inéquation suivante sur $\left]7;+\infty\right[$ :
\[ \ln(2x^2 - 6x - 56) \geqslant \ln(4x-8) \]
%
\textbf{Affirmation 3 :}
L'ensemble des solutions de cette inéquation est l'intervalle $[8;+\infty[$.
\item On considère la suite $\suiten[u]$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,
\[ u_{n+1} = \frac{3u_n}{5u_n + 3} \]
On admet que $u_n \neq 0$ pour tout entier naturel $n$.
On considère la suite $\suiten[v]$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = \dfrac{2}{u_n}$.
\smallskip
\textbf{Affirmation 4 :}
La suite $\suiten[v]$ est une suite arithmétique.
\item On lance $3\,600$ fois un dé équilibré à six faces numérotées de $1$ à $6$.
\smallskip
\textbf{Affirmation 5 :}
La probabilité que le nombre d'apparitions du $6$ soit strictement compris entre $450$ et $750$ est minorée par $0{,}97$.
\end{enumerate}
\pagebreak
%===============================================================
\hypertarget{exon4}{}\section*{Exercice 4\dotfill{}(\nbptsexo[4] points)}
%===============================================================
\medskip
L'espace est muni d'un repère orthonormé $\Rijk$ d'unité $1$~cm.
\medskip
\textbf{Partie A}
\medskip
On considère les points de l'espace $R(1;0;6)$, $S(1;3;2)$, $T(3{,}5;7;5)$ et $A(-2{,}5;8;4{,}5)$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que les points $R$, $S$ et $T$ ne sont pas alignés.
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}-10\\4\\3\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(RST)$.
\item En déduire une équation cartésienne du plan $(RST)$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Vérifier que le point $A$ n'appartient pas au plan $(RST)$.
\item On note $d_1$ la droite passant par le point $A$ et orthogonale au plan $(RST)$.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d_1$.
\item Soit le point $H$ projeté orthogonal de $A$ sur $(RST)$.
Vérifier que ses coordonnées sont $(2{,}5;6;3)$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer que le triangle $RST$ est rectangle en $S$.
\item Vérifier que le volume du tétraèdre $ARST$ est égal à $\dfrac{625}{24}$~cm$^3$.
On rappelle que le volume du tétraèdre est donné par la formule :
\[ V = \frac{1}{3} \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur} \]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie B}
\medskip
Soit $M(x;y;z)$ un point de la droite $d_2$ de représentation paramétrique :
\[ \begin{cases} x = -4{,}5 + s \\ y = 4 - 4s \\ z = 5{,}5 - 2s \end{cases}, \quad s \in \mathbb{R} \]
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $AM^2 = 21s^2 + 24s + 21$.
\item Déterminer les coordonnées du point $M$ de la droite $d_2$ pour lequel la distance $AM$ est minimale.
\end{enumerate}
\end{document}