% !TeX TXS-program:compile = txs:///pdflatex
\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
\usepackage[margin=2cm,includeheadfoot]{geometry}
\usepackage{ProfLycee}
\useproflyclib{ecritures}
\usepackage[upright]{fourier}
\usepackage{cabin}
\usepackage{amsmath,amssymb,amstext}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand\ttdefault{lmtt}
\usepackage{decimalcomma}
\usepackage{esvect}
\usepackage{logoetalab}
\usepackage[nonpgfplots]{tkz-grapheur}
\usepackage{twemojis}
\usepackage{postit}
\newcommand{\session}{2026}
\newcommand{\annee}{2026}
\newcommand{\serie}{spécifiques}
\newcommand{\lieu}{Métropole}
\newcommand{\jour}{}
\newcommand{\mois}{Janvier}
\newcommand{\numsujet}{\og Zéro \fg{} n°2}
\newcommand{\nomfichier}{[BAC, épreuve anticipée de mathématiques] \lieu{} (\mois{} \annee)}
\def\listenumexos{1,2,3,4,5}
\setsepchar{,}
\def\repartpts{6,14,X,X}\readlist*\nbptsexo{\repartpts}
\def\repartthemes{%
{Suites},
{Données chiffrées / Probabilités}
}\readlist*\themessexo{\repartthemes}
\title{\nomfichier}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate[1]{font=\bfseries}
\setenumerate[2]{font=\bfseries,label=\alph*)}
\usepackage{ibrackets}
\usepackage{customenvs}
\usepackage{wrapstuff}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{bm}
\usepackage{babel}
\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfborder=0 0 0,pdfstartview=FitH}
%transcription principale faite par mistral.ai
\lhead{\scriptsize\sffamily Épreuve anticipée de mathématiques \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \hyperlink{sommaire}{\lieu{} \serie{} - Sujet \numsujet}}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
\lfoot{\scriptsize\sffamily \affloetalab[Legende,TexteLegende={Licence Etalab 2.0}]}
\cfoot{\scriptsize\sffamily 26-MATEAOBLIDEUX}
\rfoot{\scriptsize\sffamily - \thepage{}/{}\pageref{LastPage} -}
\setlength{\parindent}{0pt}
%divers
\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
\newcommand\Rij{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath}\right)}
\newcommand\vect[1]{\vv{#1}}
\newcommand\qcmun[5][1]{%
\begin{tblr}{width=#1\linewidth,colspec={X[m,l]}}
\textbf{a)}~~#2 \\
\textbf{b)}~~#3 \\
\textbf{c)}~~#4 \\
\textbf{d)}~~#5 \\
\end{tblr}
}
\newcommand\qcmdeux[5][1]{%
\begin{tblr}{width=#1\linewidth,colspec={*{2}{X[m,l]}}}
\textbf{a)}~~#2 & \textbf{b)}~~#3 \\
\textbf{c)}~~#4 & \textbf{d)}~~#5 \\
\end{tblr}
}
\newcommand\qcm[5][1]{%
\begin{tblr}{width=#1\linewidth,colspec={*{4}{X[m,l]}}}
\textbf{a)}~~#2 & \textbf{b)}~~#3 & \textbf{c)}~~#4 & \textbf{d)}~~#5 \\
\end{tblr}
}
\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exoautomat}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Première partie : Automatismes (\nbptsexo[1] points)}\\\\
%
\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exos}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Deuxième partie (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[2]} points)}\\\\
\foreach \i in {1,...,#1}{%
\xdef\j{\inteval{\i+2}}%
\hspace*{5mm}\textcolor{green!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[X,X]{\nbptsexo[\j]} points)}\\%
\hspace*{12mm}\textcolor{purple}{\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
}%
\end{tcolorbox}%
}
\newcommand\automatquest[1]{%
\underline{\textbf{$\blacktriangleright$~Question #1}}
\smallskip
}
\NewDocumentEnvironment{AutomatQuestEAM}{ m }%
{%
\tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill]
\textbf{\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Question #1}}
\smallskip
}%
{%
\endtcolorbox%
}
\NewDocumentEnvironment{ExerciceEAM}{ m }%
{%
\hypertarget{exon#1}{}%
\tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill]
\textbf{\large\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Exercice #1}~(\nbptsexo[\numexpr#1+2\relax] points)}
\medskip
}%
{%
\endtcolorbox%
}
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\hfill\twemoji[height=5cm]{bullseye}\hfill\null
\part*{Épreuve anticipée de mathématiques \og \serie{} \fg,\\\mois{} \annee, sujet \numsujet}
\vspace{1cm}
\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=violet!50!black,colback=violet!1,fontupper=\cabin]
Voie générale : candidats \underline{ne} suivant \underline{pas} l’enseignement de spécialité.
\medskip
Durée : 2 heures. L’usage de la calculatrice n’est pas autorisé.
\end{tcolorbox}
\vspace{1cm}
\sujetbaclabelexos{2}
\pagebreak
\hypertarget{exoautomat}{}\section*{PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES -- QCM (\nbptsexo[1] points)} %exoautomaqcm
\smallskip
\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.}
\medskip
\begin{AutomatQuestEAM}{1}
On considère $A=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \times \frac{4}{3}$.
\smallskip
\qcm{$A=0$}{$A=-\frac{1}{6}$}{$A=\frac{2}{3}$}{$A=-1$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{2}
Quatre croissants coûtent 6 euros. Dix croissants coûtent :
\smallskip
\qcm{60 euros}{8 euros}{8,50 euros}{15 euros}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{3}
Un prix a doublé. Cela signifie que le prix a augmenté de :
\smallskip
\qcm{$50\,\%$}{$100\,\%$}{$150\,\%$}{$200\,\%$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{4}
À l'issue d'une augmentation de $10 \%$, un article coûte 110 euros. Laquelle des quatre propositions suivantes est vraie ?
\smallskip
\qcmun%
{Le prix de l'article avant l'augmentation était égal à 99 euros.}%
{Le prix de l'article avant l'augmentation était égal à 120 euros.}%
{Le prix a augmenté de 10 euros.}%
{Le prix a augmenté de 11 euros.}%
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{5}
La masse d'un litre d'huile est égale à 900 grammes. La masse de 750 millilitres de cette huile est égale à :
\smallskip
\qcm{750 g}{$0,675~\mathrm{kg}$}{$6,75~\mathrm{kg}$}{$67,5~\mathrm{g}$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{6}
Dans un repère du plan, on considère les points $A(1 ; 100)$ et $B(4 ; 106)$.
On note $m$ le coefficient directeur de la droite $(A B)$. On peut affirmer que :
\smallskip
\qcm{$m=2$}{$m=0,5$}{$m=-2$}{$m=-0,5$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{7}
Dans un repère du plan, on considère la droite $D$ de coefficient directeur $-0,1$, passant par le point $A(0 ; 4)$.
On note $B$ le point de la droite $D$ dont l'abscisse est égale à 1. L'ordonnée du point $B$ est égale à :
\smallskip
\qcm{3}{3,9}{4,1}{5}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{8}
La forme développée de $(x-3)(x+2)$ est :
\smallskip
\qcm{$x^{2}-5 x+6$}{$x^{2}-x+6$}{$x^{2}-x-6$}{$x^{2}-5 x-6$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{9}
Le volume $V$ d'un cône de hauteur $h$ et de rayon $r$ est $V=\frac{1}{3} \pi r^{2} h$.
On cherche à isoler $h$. On a :
\smallskip
\qcm{$h=\frac{V}{3 \pi r^{2}}$}{$h=\frac{\pi r^{2}}{3 V}$}{$h=\frac{\sqrt{V}}{\pi r}$}{$h=\frac{3 V}{\pi r^{2}}$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{10}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-2 x^{2}+3 x+1$.
L'image de $-1$ par la fonction $f$ est égale à :
\smallskip
\qcm{0}{$-1$}{0}{4}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{11}
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=2 x^{2}-5 x+3$.
Un antécédent de 0 par la fonction $f$ est :
\smallskip
\qcm{1}{$-1$}{0}{2}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{12}
On considère les deux séries ci-dessous.
Série A : 9 ; 10 ; 10 ; 11.\qquad\qquad Série B : 7 ; 10 ; 10 ; 13.
Laquelle des quatre propositions suivantes est vraie ?
\smallskip
\qcmun%
{La moyenne de la série $A$ est strictement supérieure à la moyenne de la série $B$.}%
{La moyenne de la série $B$ est strictement supérieure à la moyenne de la série $A$.}%
{L'écart-type de la série $A$ est strictement supérieur à l'écart-type de la série $B$.}%
{L'écart-type de la série $B$ est strictement supérieur à l'écart-type de la série $A$.}%
\end{AutomatQuestEAM}
\pagebreak
\hypertarget{exos}{}\section*{DEUXIÈME PARTIE (\nbptsexo[2] points)} %exos
\begin{ExerciceEAM}{1}
On étudie la croissance d'une population de champignons.
\medskip
\textbf{Partie A.}
\medskip
Au début de l'expérience, on dispose de 100 champignons. Toutes les dix minutes, on mesure l'évolution de leur nombre. On obtient les résultats suivants.
\medskip
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\hfill
\begin{tblr}{hlines,vlines,colspec={Q[m,c,2.5cm]Q[m,c,3cm]},cells={font=\footnotesize}}
{Temps écoulé\\(en minutes)} & Nombre de champignons \\
0 & 100 \\
10 & 125 \\
20 & 150 \\
30 & 175 \\
\end{tblr}
\hfill\null
\end{minipage}
%
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\hfill
\begin{GraphiqueTikz}[x=0.08cm,Xmin=0,Xmax=40,Xgrille=10,Xgrilles=2,y=0.016cm,Ymin=0,Ymax=200,Ygrille=50,Ygrilles=10]
\TracerAxesGrilles[Police=\scriptsize]{0,10,20,30}{0,50,100,150}
\draw (\pflxmax,0) node[above left,align=left,font=\tiny\bfseries] {temps écoulé\\(en minutes)} ;
\draw (0,\pflymax) node[below right,align=left,font=\tiny\bfseries] {nombre de\\champignons} ;
\MarquerPts*{(0,100),(10,125),(20,150),(30,175)}
\end{GraphiqueTikz}
\hfill\null
\end{minipage}
\medskip
Soit $n$ un entier naturel. On note $u_{n}$ le nombre de champignons après $n$ périodes de \textbf{dix} minutes. Ainsi $u_{0}=100$, $u_{1}=125$, $u_{2}=150 \ldots$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que les termes $u_{0}$, $u_{1}$, $u_{2}$, $u_{3}$ sont en progression arithmétique.
\item En supposant que la population de champignons continue d'évoluer selon le même rythme, montrer qu'elle aura quadruplé deux heures après le début de l'expérience.
\end{enumerate}
\begin{wrapstuff}[r,leftsep=7.5mm]
\begin{tblr}{hlines,vlines,colspec={Q[m,c,2.5cm]Q[m,c,3cm]},cells={font=\footnotesize}}
{Temps écoulé\\(en minutes)} & Nombre de champignons \\
0 & 100 \\
40 & 200 \\
80 & 400 \\
120 & 800 \\
\end{tblr}
\end{wrapstuff}
\textbf{Partie B.}
\medskip
En réalité, on constate que la population de champignons a quadruplé 80 minutes après le début de l'expérience. De nouvelles mesures donnent les résultats suivants.
\smallskip
Soit $n$ un entier naturel. On note $v_{n}$ le nombre de champignons, après $n$ périodes de quarante minutes. Ainsi $v_{0}=100$, $v_{1}=200$, $v_{2}=400 \ldots$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que les termes $v_{0}$, $v_{1}$, $v_{2}$, $v_{3}$ sont en progression géométrique.
\item On suppose que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison 2.
Indiquer sans justifier lequel des 4 graphiques ci-dessous est susceptible de représenter la suite $\left(v_{n}\right)$.
\end{enumerate}
\begin{Centrage}
\begin{tikzpicture}
\draw[semithick,->,>=latex] (0,0) -- (3.5,0) ;
\draw[semithick,->,>=latex] (0,0) -- (0,2) ;
\PlacerPoints*{(0.5,0.1),(1,0.2),(1.5,0.3),(2,0.5),(2.5,1),(3,1.9)}
\PlacerTexte[Police=\scriptsize,inner sep=1pt]{(1.75,2)}{Graphique 1}
\end{tikzpicture}
~~
\begin{tikzpicture}
\draw[semithick,->,>=latex] (0,0) -- (3.5,0) ;
\draw[semithick,->,>=latex] (0,0) -- (0,2) ;
\PlacerPoints*{(0.1,0.3),(0.2,0.5),(0.45,0.8),(0.9,1),(1.8,1.3),(3.5,1.6)}
\PlacerTexte[Police=\scriptsize,inner sep=1pt]{(1.75,2)}{Graphique 2}
\end{tikzpicture}
~~
\begin{tikzpicture}
\draw[semithick,->,>=latex] (0,0) -- (3.5,0) ;
\draw[semithick,->,>=latex] (0,0) -- (0,2) ;
\PlacerPoints*{(0.5,0.25),(1,0.5),(1.5,0.75),(2,1),(2.5,1.25),(3,1.5)}
\PlacerTexte[Police=\scriptsize,inner sep=1pt]{(1.75,2)}{Graphique 3}
\end{tikzpicture}
~~
\begin{tikzpicture}
\draw[semithick,->,>=latex] (0,0) -- (3.5,0) ;
\draw[semithick,->,>=latex] (0,0) -- (0,2) ;
\PlacerPoints*{(0.5,1.9),(1,1),(1.5,0.65),(2,0.45),(2.5,0.4),(3,0.3)}
\PlacerTexte[Police=\scriptsize,inner sep=1pt]{(1.75,2)}{Graphique 4}
\end{tikzpicture}
\end{Centrage}
\begin{wrapstuff}[r,abovesep=-5mm]
\begin{PostIt}[Rendu=tikzv2,Largeur=3cm,Inclinaison=2.5,Attache=Non,AlignementH=center]
{\scriptsize\sffamily\bfseries Aide au calcul}
\vspace*{1mm}
{\scriptsize\begin{tabular}{l}
$2^{6}=64$ \\
$2^{7}=128$ \\
$2^{8}=256$ \\
$2^{9}=512$ \\
$2^{10}=\num{1024}$
\end{tabular}}%
\vspace*{-3mm}
\end{PostIt}
%\begin{tblr}{hlines,vlines,cells={font=\scriptsize},colspec={c}}
% {Aide au calcul \\ $2^{6}=64$ \\ $2^{7}=128$ \\$2^{8}=256$ \\$2^{9}=512$ \\$2^{10}=\num{1024}$}
%\end{tblr}
\end{wrapstuff}
\begin{enumerate}[resume]
\item Quel sera le nombre de champignons quatre heures après le début de l'expérience ?
\item Cinq heures après le début de l'expérience, on dénombre environ \num{18000} champignons. Est-ce cohérent avec le modèle choisi?
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}
\pagebreak
\begin{ExerciceEAM}{2}
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
\textbf{Partie A.}
Dans un lycée comptant \num{2000} élèves, on donne la répartition des effectifs suivant le sexe et le choix de la LV1.
\begin{Centrage}
\begin{tblr}{vline{1}={2-Z}{solid},vline{2-Z}={solid},hline{1}={2-Z}{solid},hline{2-Z}={solid},width=10cm,colspec={X[1.75,l,m]X[m,c]X[m,c]}}
& Fille & Garçon \\
Anglais & 712 & 728 \\
Autre LV1 & 288 & 272 \\
\end{tblr}
\end{Centrage}
\begin{enumerate}
\item Un élève affirme « Dans ce lycée, il y a autant de filles que de garçons ». A-t-il raison ? Justifier.
\end{enumerate}
On choisit au hasard, de manière équiprobable, un élève dans ce lycée. On considère les événements suivants :
\hspace*{2.5mm}$F$ : « l'élève est une fille » ;
\hspace*{2.5mm}$A$ : « l'élève a choisi Anglais pour LV1 ».
\smallskip
Dans les questions qui suivent, on donnera les résultats sous forme d'une fraction qu'il n'est pas demandé de simplifier.
\begin{enumerate}[resume]
\item Déterminer la probabilité de l'événement $A \cap F$.
\item Déterminer la probabilité de l'événement $A$ sachant que l'événement $F$ est réalisé.
\item Les événements $A$ et $F$ sont-ils indépendants ? Justifier.
\item On sait que l'élève choisi est un garçon. On considère l'affirmation suivante :
\textit{« La probabilité qu'il ait choisi Anglais pour LV1 est plus de trois fois plus grande que la probabilité qu'il n'ait pas choisi Anglais pour LV1».}
Cette affirmation est-elle vraie ? Justifier.
\end{enumerate}
\textbf{Partie B.}
\medskip
On dispose d'une pièce de monnaie truquée pour laquelle la probabilité d'obtenir pile lors d'un lancer est égale à $\frac{1}{4}$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité d'obtenir face.
\item On lance trois fois de suite cette pièce de monnaie, les trois lancers étant indépendants, et on note pour chaque lancer le résultat (pile ou face) obtenu.
\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un arbre de probabilités.
\item Quelle est la probabilité d'obtenir exactement une fois pile lors de ces trois lancers?
\item Quelle est la probabilité de ne jamais obtenir pile?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}
\end{document}