% !TeX TXS-program:compile = txs:///pdflatex
\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
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\newcommand{\mois}{juin}
\newcommand{\numsujet}{1}
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\newcommand{\nomfichier}{[BAC, épreuve anticipée de mathématiques] \lieu{} (\mois{} \annee)}
\def\listenumexos{1,2,3}
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\def\repartpts{6,14,5,7,2}\readlist*\nbptsexo{\repartpts}
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{Vrai\&{Faux} / Analyse de documents},
{Suites},
{Lectures graphiques}
}\readlist*\themessexo{\repartthemes}
\title{\nomfichier}
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\setenumerate[2]{font=\bfseries,label=\alph*.}
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%transcription principale faite par claude.ai
\lhead{\scriptsize\sffamily Épreuve anticipée de mathématiques \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \hyperlink{sommaire}{\lieu{} \serie{} - Sujet \numsujet}}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
\lfoot{\scriptsize\sffamily \affloetalab[Legende,TexteLegende={Licence Etalab 2.0}]}
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\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
\newcommand\Rij{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath}\right)}
\newcommand\suiten[1][u]{\left(#1_n\right)}
\newcommand\vect[1]{\vv{#1}}
\NewDocumentCommand\eamreponsesautom{ O{2} D<>{0.975\linewidth} m m m m }{%
\ExamReponsesQCM%
[Filets,NbCols=#1,PoliceLabels={\bfseries},Labels={a.},Largeur=#2,Swap]%
{{#3},{#4},{#5},{#6}}%
}
\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
\newlength\tmpemojipen
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exoautomat}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Première partie : Automatismes (\nbptsexo[1] points)}\\[8pt]
\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exos}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Deuxième partie (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[2]} points)}\\\\
\foreach \i in {1,...,#1}{%
\xdef\j{\inteval{\i+2}}%
\hspace*{5mm}\textcolor{green!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[X,X,X]{\nbptsexo[\j]} points)}\\%
\hspace*{12mm}\textcolor{purple}{\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
}%
\end{tcolorbox}%
\vspace*{0.25cm}
\settowidth\tmpemojipen{\hbox{\twemoji[height=1cm]{memo}}}%
\begin{tcolorbox}[enhanced,width=0.875\linewidth,colframe=red!50!black,colback=red!1,flush right,fontupper=\footnotesize\cabin,left=1.25\tmpemojipen,underlay={\draw ([xshift=0.75\tmpemojipen]frame.west) node[] {\twemoji[height=1cm]{memo}} ;}]
La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. \\
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
\end{tcolorbox}%
\vspace*{0.75cm}
\hfill\pictostamp[radius=2cm,maincolor=violet!50!black]{\codesujet}\hfill\null
}
\NewDocumentEnvironment{AutomatQuestEAM}{ m }%
{%
\tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill,breakable]
\textbf{\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Question #1}}
\smallskip
}%
{%
\endtcolorbox%
}
\NewDocumentEnvironment{ExerciceEAM}{ m }%
{%
\hypertarget{exon#1}{}%
\tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill,breakable]
\textbf{\large\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Exercice #1}~(\nbptsexo[\numexpr#1+2\relax] points)}
\medskip
}%
{%
\endtcolorbox%
}
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=4cm]{asie.v2}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}
\part*{EAM \og \serie{} \fg, \lieu, \mois{} \annee}
\vspace{0.25cm}
\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=violet!50!black,colback=violet!1,fontupper=\cabin]
Voie générale : candidats ne suivant pas l'enseignement de spé. de mathématiques.
\medskip
Durée : 2 heures. L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.
\end{tcolorbox}
\vspace{0.25cm}
\sujetbaclabelexos{3}
\pagebreak
%===============================================================
\hypertarget{exoautomat}{}\section*{PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES -- QCM (\nbptsexo[1] points)}
%===============================================================
\smallskip
\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reporter son numéro sur la copie et indiquer la réponse.}
\medskip
Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.
\medskip
\begin{AutomatQuestEAM}{1}
Un article de $5$~g perd $10\,\%$ de sa masse. Sa nouvelle masse est :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$4{,}0$~g}{$4{,}1$~g}{$4{,}5$~g}{$4{,}9$~g}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{2}
Pour augmenter un prix de $15\,\%$, je dois le multiplier par :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$0{,}15$}{$1{,}15$}{$0{,}85$}{$1{,}015$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{3}
On considère $A = \dfrac{2}{5}$. Alors :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$A = 2{,}5\,\%$}{$A = 4\,\%$}{$A = 40\,\%$}{$A = 25\,\%$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{4}
On considère $B = \left(5^3\right)^4 \times 5^{10}$. Alors :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$B = 5^{17}$}{$B = 5^{120}$}{$B = 5^{22}$}{$B = 5^{70}$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{5}
Le triple de $3^{12}$ est :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$9^{12}$}{$3^{36}$}{$3^{13}$}{$9^{36}$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{6}
Une expression développée de $(2x+5)^2$ est :
\smallskip
\eamreponsesautom[2]{$4x^2 + 25$}{$4x^2 + 10x + 25$}{$2x^2 + 20x + 25$}{$4x^2 + 20x + 25$}
\end{AutomatQuestEAM}
\pagebreak
\begin{AutomatQuestEAM}{7}
L'ensemble des solutions de l'équation $x^2 = 5$ est :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$\{-2{,}5\,;2{,}5\}$}{$\{\sqrt{5}\}$}{$\{2{,}5\}$}{$\{-\sqrt{5}\,;\sqrt{5}\}$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{8}
En convertissant $3\,400$~mm$^3$ en cm$^3$, on obtient :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$3{,}4$~cm$^3$}{$34$~cm$^3$}{$340$~cm$^3$}{$0{,}34$~cm$^3$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{9}
En sachant que le point $A$ de coordonnées $(-3\,;y_A)$ appartient à la courbe d'équation $y = x^2$, on a :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$y_A = -9$}{$y_A = -6$}{$y_A = 6$}{$y_A = 9$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{10}
On lance un dé truqué à $4$ faces. La probabilité d'obtenir chacune des faces est donnée par le tableau ci-dessous.
\medskip
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}
\hline
Face & Face numéro 1 & Face numéro 2 & Face numéro 3 & Face numéro 4 \\
\hline
Probabilité & $0{,}1$ & $0{,}25$ & $0{,}3$ & $x$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\medskip
On a alors :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$x = 0{,}35$}{$x = 0{,}45$}{$x = 0{,}65$}{$x = 0{,}60$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{11}
Lequel de ces nombres est supérieur à $0{,}1$ ?
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$\dfrac{1}{12}$}{$10^{-2}$}{$\dfrac{1}{5}$}{$7\,\%$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{12}
On considère $A = 3 \times \dfrac{2}{5} + 1$. On a :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$A = \dfrac{11}{5}$}{$A = \dfrac{7}{15}$}{$A = \dfrac{11}{10}$}{$A = \dfrac{11}{15}$}
\end{AutomatQuestEAM}
\pagebreak
%===============================================================
\hypertarget{exos}{}\section*{DEUXIÈME PARTIE (\nbptsexo[2] points)}
%===============================================================
\begin{ExerciceEAM}{1}
Dans un lycée, des élèves de première souhaitent installer des \textbf{vélos générateurs d'électricité} dans la cafétéria pour recharger des téléphones portables.
À l'aide des quatre documents ci-dessous, indiquer si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse. \textbf{Chaque réponse devra être justifiée.}
\medskip
\textbf{Affirmation 1 :} Le budget du lycée permet de financer cinq vélos générateurs d'électricité (vélo, chargeur et livraison).
\textbf{Affirmation 2 :} Il faut pédaler pendant $24$ minutes à intensité modérée pour recharger un téléphone portable à l'aide d'un vélo générateur d'électricité.
\textbf{Affirmation 3 :} On choisit au hasard un élève du lycée. La probabilité que l'élève choisi soit un élève de première en sachant qu'il est favorable au projet est supérieure à un quart.
\textbf{Affirmation 4 :} Le projet des élèves de première va pouvoir être lancé.
\bigskip
\textbf{\underline{\sffamily Documents}}
\medskip
\textbf{\sffamily Document 1 : Fiche d'un vélo générateur d'électricité}
\begin{tcolorbox}[colback=gray!12,colframe=gray!36,boxrule=1pt,sharp corners,width=0.95\linewidth]
\underline{\textbf{Tarifs pour l'installation de vélos générateurs d'électricité}}
\begin{itemize}
\item[\faCog] Coût d'un vélo sans chargeur : $300$~€
\item[\faCog] Coût du chargeur, pour chaque vélo : $45$~€
\item[\faCog] Coût de livraison par vélo : $60$~€
\end{itemize}
\medskip
\underline{\textbf{Énergie produite par un vélo générateur d'électricité}}
\smallskip
Lorsqu'une personne pédale à intensité modérée pendant une heure, le dispositif permet de récupérer $100$~kJ (kilojoules).
\end{tcolorbox}
\textbf{\sffamily Document 2 : Énergie nécessaire pour charger quelques appareils}
\begin{tcolorbox}[colback=gray!12,colframe=gray!36,boxrule=1pt,sharp corners,width=0.95\linewidth]
\begin{center}
\begin{tblr}{width=0.975\linewidth,hlines,vlines,colspec={Q[m,c,4.5cm]*{4}{X[m,c]}},column{1}={bg=lightgray},cells={font=\small}}
Appareils électroniques & Ordinateur portable & Casque audio & Téléphone portable & Montre connectée \\
Énergie moyenne nécessaire pour une charge complète & $200$~kJ & $18$~kJ & $40$~kJ & $5$~kJ \\
\end{tblr}
\end{center}
\end{tcolorbox}
\textbf{\sffamily Document 3 : Résultats du sondage réalisé auprès des élèves du lycée sur les vélos générateurs d'électricité}
\begin{tcolorbox}[colback=gray!12,colframe=gray!36,boxrule=1pt,sharp corners,width=0.95\linewidth]
\begin{center}
\begin{tblr}{width=12cm,vline{1}={2-Z}{solid},vline{2-Z}={solid},hline{1}={2-Z}{solid},hline{2-Z}={solid},colspec={*{4}{X[m,c]}},cell{1}{2-Z}={bg=lightgray},cell{2-Z}{1}={bg=lightgray},cells={font=\small}}
& Favorable & Défavorable & Total \\
Seconde & $260$ & $170$ & $430$ \\
Première & $180$ & $120$ & $300$ \\
Terminale & $120$ & $150$ & $270$ \\
Total & $560$ & $440$ & $1\,000$ \\
\end{tblr}
\end{center}
\end{tcolorbox}
\textbf{\sffamily Document 4 : Message de la proviseure du lycée aux élèves porteurs du projet}
\begin{tcolorbox}[colback=gray!12,colframe=gray!36,boxrule=1pt,sharp corners,width=0.95\linewidth]
\textbf{Objet :Lancement du projet \og vélos générateurs d'électricité \fg{} -- conditions à remplir}
\medskip
Chers élèves de première,
\medskip
Ce projet ne pourra être lancé que si les \textbf{deux critères suivants sont remplis} :
\begin{itemize}[noitemsep]
\item plus de la moitié des élèves du lycée doivent se déclarer \textbf{favorables} à cette initiative ;
\item au moins $60\,\%$ des élèves de première doivent également y être \textbf{favorables}.
\end{itemize}
Dans le cas où le projet serait validé, \textbf{le budget du lycée sera fixé à $2\,000$~€} pour financer l'achat des vélos et des chargeurs ainsi que la livraison des vélos.
\medskip
Bien cordialement,
\textbf{La Proviseure}
\end{tcolorbox}
\end{ExerciceEAM}
\pagebreak
\begin{ExerciceEAM}{2}
Vous venez de commencer une nouvelle partie d'un jeu vidéo au cours de laquelle votre personnage gagne de l'expérience et obtient de la potion magique.
\medskip
\textbf{Partie A -- Gain d'expérience}
\medskip
Quand votre personnage passe d'un niveau au niveau supérieur, il gagne $80$ points d'expérience.
Quand vous commencez, votre personnage est au niveau $0$ et a $20$ points d'expérience.
\begin{enumerate}
\item Combien votre personnage a-t-il de points d'expérience quand il est au niveau $1$ ?
\item Montrer que, quand votre personnage est au niveau $10$, il a plus de $800$ points d'expérience.
\item À quel niveau votre personnage est-il s'il a $2\,020$ points d'expérience ? \textit{Justifier par un calcul.}
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie B -- Gain d'énergie magique}
\medskip
À la fin de chaque niveau, votre personnage doit neutraliser un monstre. Cela lui rapporte de l'énergie sous forme de potion magique. Au niveau $0$, le monstre neutralisé permet de récupérer $10$ centilitres (cl) de potion magique.
À chaque niveau, cette quantité augmente de $20\,\%$ par rapport au niveau précédent.
\medskip
\begin{wrapstuff}[r]
{\small \begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\multicolumn{2}{|c|}{\textbf{Aide aux calculs}} \\
\hline
$1{,}2^2$ & $1{,}44$ \\
$1{,}2^3$ & $1{,}728$ \\
$1{,}2^4$ & $2{,}0736$ \\
$1{,}2^5$ & $2{,}48832$ \\
$1{,}2^6$ & $2{,}985984$ \\
$1{,}2^7$ & $3{,}5831808$ \\
$1{,}2^8$ & $4{,}29981696$ \\
$1{,}2^9$ & $5{,}15978035$ \\
$1{,}2^{10}$ & $6{,}19173642$ \\
$1{,}2^{11}$ & $7{,}43008371$ \\
\hline
\end{tabular}}
\end{wrapstuff}
\textit{Arrondir les résultats, si nécessaire, au centilitre près.}
\medskip
Soit $n$ un entier naturel.
On note $v_n$ la quantité de potion magique (en cl) récupérée pour le monstre neutralisé au niveau $n$.
\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi $v_0 = 10$.
\item Justifier que $v_{n+1} = 1{,}2\,v_n$ pour tout entier naturel $n$.
\item En déduire la nature de la suite $\suiten[v]$ et préciser sa raison.
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que $v_5 \approx 25$.
\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\item À partir de quel niveau la quantité de potion magique récupérée par monstre neutralisé dépasse-t-elle $0{,}6$ litre ?
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}
\pagebreak
\begin{ExerciceEAM}{3}
Cet exercice s'intéresse à la croissance d'une personne appelée Juliette. Sa croissance est modélisée par la fonction $f$, représentée ci-dessous.
La \textbf{vitesse de croissance} de Juliette (en cm par an) à une date donnée $t$ est égale au \textbf{nombre dérivé} $f'(t)$.
On a également représenté trois tangentes à la courbe représentative de $f$ : celles aux points $A$, $B$ et $C$.
\begin{Centrage}
\begin{GraphiqueTikz}[x=0.9cm,y=0.09cm,Origx=5,Xmin=5,Xmax=19,Xgrilles=1,Origy=90,Ymin=90,Ymax=180,Ygrille=10,Ygrilles=10]
\TracerAxesGrilles[]{5,6,...,19}{90,100,...,180}
\def\LISTETEST{5/108/6 § 12/152/6 § 14/160/2.5 § 17/163/0 § 19/163/0}
\DefinirCourbeSpline[Alt,Trace,Couleur=purple]{\LISTETEST}
%\DefinirCourbeInterpo[Couleur=red,Trace,Tension=0.7]{(5,108)(6,115)(7,122)(8,128)(9,134)(10,140)(11,145)(12,152)(13,158)(14,160)(15,162)(16,162.5)(17,163)(18,163)(19,163)}
\TracerCourbe[Couleur=black,StyleTrace=dashed]{6*(x-12)+152}%Ta
\TracerCourbe[Couleur=black,StyleTrace=dashed]{20/8*(x-14)+160}%Tb
\TracerCourbe[Couleur=black,StyleTrace=dashed]{163}%Tc
\MarquerPts[Couleur=black,Style=x,Taillex=3pt]{(12,152)/$A$/below right,(14,160)/$B$/below right,(17,163)/$C$/above right}
\PlacerTexte[Couleur=purple]{(7.5,115)}{$\mathcal{C}_f$}
\node[rotate=90] at (3.5,140) {Taille (en cm)} ;
\node[] at (12,80) {Âge (en année)} ;
\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}
\medskip
On répondra aux questions suivantes avec la précision permise par le graphique :
\begin{enumerate}
\item Estimer la taille de Juliette le jour de ses $14$ ans.
\item À quel âge Juliette grandissait-elle le plus vite, à $12$ ans ou à $14$ ans ? \textit{Justifier.}
\item Pourquoi peut-on considérer que Juliette a terminé sa croissance à $17$ ans ?
\item Estimer la taille adulte de Juliette.
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}
\end{document}