% !TeX TXS-program:compile = txs:///pdflatex
\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
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\newcommand{\session}{2026}
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\newcommand{\serie}{Sans spécialité}
\newcommand{\lieu}{Métropole}
\newcommand{\jour}{12}
\newcommand{\mois}{juin}
\newcommand{\numsujet}{Secours}
\newcommand{\codesujet}{26-MATGEME2}
\newcommand{\nomfichier}{[BAC, épreuve anticipée de mathématiques] \lieu{} (\mois{} \annee)}
\def\listenumexos{1,2,3}
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\def\repartpts{6,14,3,6,5}\readlist*\nbptsexo{\repartpts}
\def\repartthemes{%
{Probabilités},
{Fonctions},
{Suites}
}\readlist*\themessexo{\repartthemes}
\title{\nomfichier}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate[1]{font=\bfseries}
\setenumerate[2]{font=\bfseries,label=\alph*.}
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%transcription principale faite par claude.ai
\lhead{\scriptsize\sffamily Épreuve anticipée de mathématiques \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \hyperlink{sommaire}{\lieu{} \serie{} - Sujet \numsujet}}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
\lfoot{\scriptsize\sffamily \affloetalab[Legende,TexteLegende={Licence Etalab 2.0}]}
\cfoot{\scriptsize\sffamily \codesujet}
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\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
\newcommand\Rij{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath}\right)}
\newcommand\suiten[1][u]{\left(#1_n\right)}
\newcommand\vect[1]{\vv{#1}}
\NewDocumentCommand\eamreponsesautom{ O{2} D<>{0.975\linewidth} m m m m }{%
\ExamReponsesQCM%
[Filets,NbCols=#1,PoliceLabels={\bfseries},Labels={a.},Largeur=#2,Swap]%
{{#3},{#4},{#5},{#6}}%
<rowsep=4pt,colsep=8pt>
}
\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
\newlength\tmpemojipen
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exoautomat}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Première partie : Automatismes (\nbptsexo[1] points)}\\\\
\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exos}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Deuxième partie (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[2]} points)}\\\\
\foreach \i in {1,...,#1}{%
\xdef\j{\inteval{\i+2}}%
\hspace*{5mm}\textcolor{green!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[X,X]{\nbptsexo[\j]} points)}\\%
\hspace*{12mm}\textcolor{purple}{\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
}%
\end{tcolorbox}%
\vspace*{0.25cm}
\settowidth\tmpemojipen{\hbox{\twemoji[height=1cm]{memo}}}%
\begin{tcolorbox}[enhanced,width=0.875\linewidth,colframe=red!50!black,colback=red!1,flush right,fontupper=\footnotesize\cabin,left=1.25\tmpemojipen,underlay={\draw ([xshift=0.75\tmpemojipen]frame.west) node[] {\twemoji[height=1cm]{memo}} ;}]
La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. \\
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
\end{tcolorbox}%
\vspace*{0.75cm}
\hfill\pictostamp[radius=2cm,maincolor=violet!50!black]{\codesujet}\hfill\null
}
\NewDocumentEnvironment{AutomatQuestEAM}{ m }%
{%
\tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill,breakable]
\textbf{\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Question #1}}
\smallskip
}%
{%
\endtcolorbox%
}
\NewDocumentEnvironment{ExerciceEAM}{ m }%
{%
\hypertarget{exon#1}{}%
\tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill,breakable]
\textbf{\large\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Exercice #1}~(\nbptsexo[\numexpr#1+2\relax] points)}
\medskip
}%
{%
\endtcolorbox%
}
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=4cm]{fr.v1}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}
\part*{EAM \og \serie{} \fg, \lieu, \mois{} \annee}
\vspace{0.25cm}
\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=violet!50!black,colback=violet!1,fontupper=\cabin]
Voie générale : candidats ne suivant pas l'enseignement de spé. de mathématiques.
\medskip
Durée : 2 heures. L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.
\end{tcolorbox}
\vspace{0.25cm}
\sujetbaclabelexos{3}
\pagebreak
%===============================================================
\hypertarget{exoautomat}{}\section*{PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES -- QCM (\nbptsexo[1] points)}
%===============================================================
\smallskip
\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.}
\medskip
Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.
\medskip
\begin{AutomatQuestEAM}{1}
L'équation $(2x + 6)(7 - x) = 0$ a pour solutions :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$3$ et $7$}{$3$ et $-7$}{$-3$ et $-7$}{$-3$ et $7$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{2}
La moitié du tiers correspond à la fraction :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$\dfrac{3}{2}$}{$\dfrac{1}{5}$}{$\dfrac{1}{6}$}{$\dfrac{2}{3}$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{3}
On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x) = 3x^2 - 7x + 9$.
$f(2)$ vaut :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$31$}{$7$}{$-11$}{$13$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{4}
Quand on développe $(3x - 1)^2$ on obtient :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$3x^2 - 6x + 1$}{$9x^2 + 6x - 1$}{$9x^2 - 6x + 1$}{$9x^2 - 1$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{5}
Voici les notes obtenues par un élève lors de contrôles : $8$~;~$11$~;~$12$~;~$9$~;~$20$.
La moyenne des notes de l'élève est :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$12$}{$10$}{$11$}{$13$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{6}
Un joueur lance deux fois un dé non truqué à six faces numérotées de $1$ à $6$.
La probabilité qu'il obtienne deux fois la face numérotée $6$ est :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$\dfrac{1}{2}$}{$\dfrac{1}{6}$}{$\dfrac{1}{12}$}{$\dfrac{1}{36}$}
\end{AutomatQuestEAM}
\pagebreak
\begin{AutomatQuestEAM}{7}
Sur l'étiquette d'une plaque de chocolat noir, il est indiqué $30$~g de sucre pour $100$~g.
Quelle quantité de sucre contient une plaque de $250$~g de ce chocolat noir ?
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$70$~g}{$100$~g}{$75$~g}{$85$~g}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{8}
Un prix est multiplié par $2$. Ce prix a augmenté de :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$100\,\%$}{$20\,\%$}{$200\,\%$}{$2\,\%$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{9}
On considère la droite D représentée ci-dessous dans un repère orthonormé.
\hfill\begin{GraphiqueTikz}[x=1.25cm,y=1.25cm,Xmin=-3.5,Xmax=6.25,Xgrilles=1,Ymin=-2.25,Ymax=4.25,Ygrilles=1]
\TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\footnotesize]{-3,-2,...,6}{-2,-1,...,4}
\DefinirCourbe[Trace,Couleur=red,Debut=-3.5,Fin=6]{0.5*x+1}
\node[red,above right,font=\large] at (5,3) {$D$} ;
\end{GraphiqueTikz}\hfill\null
L'équation réduite de la droite $D$ est :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$y = 2x + 1$}{$y = 2x - 2$}{$y = \dfrac{1}{2}x - 2$}{$y = \dfrac{1}{2}x + 1$}
\end{AutomatQuestEAM}
\pagebreak
%===============================================================
\hypertarget{exos}{}\section*{DEUXIÈME PARTIE (\nbptsexo[2] points)}
%===============================================================
\begin{ExerciceEAM}{1}
Dans un lycée, on a questionné $200$ élèves ($100$ garçons et $100$ filles) sur leur principal mode de déplacement pour venir au lycée.
Voici les résultats obtenus :
\medskip
\hfill%
\begin{tblr}{vline{1}={2-Z}{solid},vline{2-Z}={solid},hline{1}={2-Z}{solid},hline{2-Z}={solid},width=0.75\linewidth,colspec={Q[m,l]X[m,c]X[m,c]X[m,c]},cells={font=\small}}
& Garçon & Fille & Total \\
Marche & $16$ & $20$ & $36$ \\
Transport en commun & $41$ & $45$ & $86$ \\
Automobile & $21$ & $25$ & $46$ \\
Vélo & $18$ & $8$ & $26$ \\
Autres & $4$ & $2$ & $6$ \\
Total & $100$ & $100$ & $200$ \\
\end{tblr}%
\hfill\null
\medskip
On choisit un élève au hasard parmi les élèves concernés par cette enquête.
On considère les événements suivants :
\begin{MultiCols}[Type=item](2)
\item $M$ : \og l'élève vient en marchant \fg
\item $T$ : \og l'élève vient en transport en commun \fg
\item $A$ : \og l'élève arrive en automobile \fg
\item $V$ : \og l'élève vient à vélo \fg
\item $F$ : \og l'élève est une fille \fg
\item $G$ : \og l'élève est un garçon \fg
\end{MultiCols}
Les résultats demandés seront exprimés sous forme fractionnaire. La forme irréductible n'est pas attendue.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité que l'élève soit une fille et vienne à vélo.
\item Déterminer la probabilité que l'élève vienne en transport en commun.
\item Déterminer la probabilité que l'élève vienne en transport en commun sachant que c'est un garçon.
\item Déterminer la probabilité que l'élève soit un garçon et n'arrive pas en automobile.
\end{enumerate}
\item Les deux événements \og l'élève vient en transport en commun \fg{} et \og l'élève est un garçon \fg{} sont-ils indépendants ?
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}
\pagebreak
\begin{ExerciceEAM}{2}
Une entreprise produit et vend de l'eau florale. Elle veut faire une étude sur une production comprise entre $0$ et $50$ litres de cette eau florale.
Chaque litre d'eau florale est vendu $70$~€.
\smallskip
Le coût de production, en euros, de $x$ litres d'eau florale est modélisé par la fonction $C$ dont l'expression est $C(x) = x^2 + 20x + 400$ où $x$ appartient à l'intervalle $[0;50]$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer le coût de production de $10$ litres d'eau florale.
\item On note $R(x)$ la recette, en euros, correspondant au prix de vente de $x$ litres d'eau florale. Exprimer $R(x)$ en fonction de $x$.
\end{enumerate}
Le bénéfice, en euros, pour la production et la vente de $x$ litres d'eau florale est modélisé par la fonction $B$. Son expression est obtenue en soustrayant le coût de production de la recette :
\[
B(x) = R(x) - C(x)
\]
où $x$ appartient à l'intervalle $[0;50]$.
\begin{enumerate}[resume]
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que $B(x) = -x^2 + 50x - 400$ où $x$ appartient à l'intervalle $[0;50]$.
\item Calculer $B'(x)$ où $B'$ est la fonction dérivée de la fonction $B$.
\item Déterminer le signe de $B'(x)$ sur l'intervalle $[0;50]$.
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $B$ sur l'intervalle $[0;50]$. Le calcul de l'image des valeurs particulières du tableau n'est pas attendu.
\item En déduire le nombre de litres d'eau florale que l'entreprise doit produire et vendre pour réaliser un bénéfice maximal.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $B(x) = (x - 10)(40 - x)$.
\item Étudier le signe de $(x - 10)(40 - x)$ sur l'intervalle $[0;50]$ (on pourra utiliser un tableau de signes).
\item En déduire les quantités d'eau florale que l'entreprise doit produire et vendre pour réaliser un bénéfice positif.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}
\pagebreak
\begin{ExerciceEAM}{3}
On étudie l'évolution du nombre d'habitants de deux villes A et B à partir du 1$^{\text{er}}$ janvier 2020.
On a modélisé ci-dessous l'évolution de la population de ces deux villes en fonction du nombre d'années écoulées depuis le 1$^{\text{er}}$ janvier 2020. En abscisse, on lit le nombre d'années écoulées depuis le 1$^{\text{er}}$ janvier 2020 et en ordonnée, le nombre d'habitants en millions.
\begin{Centrage}
\begin{GraphiqueTikz}[x=0.7cm,y=1.4cm,Xmin=0,Xmax=20,Xgrilles=1,Ymin=0,Ymax=10,Ygrilles=1]
\TracerAxesGrilles*[Fleches=false,Origine,Police=\small]{0,1,...,20}{0,1,...,10}
\TracerNuageSuite*[CouleurNuage=purple/violet,Style=o,Debut=0,Fin=20,TaillePts=3.25pt]{0.1*n+6}
\TracerNuageSuite*[CouleurNuage=red/yellow,Style=o,Debut=0,Fin=17,TaillePts=3.25pt]{3*1.07^n}
\PlacerTexte[Police=\footnotesize\sffamily,Position=below left]{(20,-0.375)}{nombre d'années écoulées depuis le 1\up*{er} janvier 2020}
\draw (-1.5,10) node[pflnoeud,font=\footnotesize\sffamily,below left,rotate=90] {nombre d'habitants en millions} ;
%notice
\draw[pflcadre,fill=white] (4,8.5) rectangle (7,9.5) ;
\MarquerPts[Couleur=red/yellow,Tailleo=3.25pt]{(4.5,{9.5-0.3})/~~Ville A/right} %rond bicolore
\MarquerPts[Couleur=purple/violet,Tailleo=3.25pt]{(4.5,{8.5+0.3})/~~Ville B/right} %rond bicolore
% \DefinirCourbe[Trace,Couleur=blue,Debut=0,Fin=20]{3*1.07^x}
% \DefinirCourbe[Trace,Couleur=red,Debut=0,Fin=20]{6+0.1*x}
% \node[blue,font=\small] at (17,9.5) {Ville A} ;
% \node[red,font=\small] at (17,8) {Ville B} ;
\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}
\medskip
\textbf{Partie A : Étude de la population de la ville A}
\medskip
On admet que l'évolution du nombre d'habitants de la ville A a été modélisée par la suite géométrique $\suiten[u]$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
\[
u_n = 3 \times 1{,}07^n
\]
où $n$ est le nombre d'années écoulées depuis le 1$^{\text{er}}$ janvier 2020 et $u_n$ est le nombre d'habitants l'année $2020 + n$, exprimé en millions.
\begin{enumerate}
\item Quel est le nombre d'habitants de la ville A au 1$^{\text{er}}$ janvier 2020 ?
\item
\begin{enumerate}
\item Justifier que la suite $\suiten[u]$ est croissante.
\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice et donner le taux d'évolution annuel, exprimé en pourcentage, de la population de la ville A selon ce modèle.
\end{enumerate}
\item Estimer, à l'aide du graphique ci-dessus, le nombre d'années nécessaires depuis le 1$^{\text{er}}$ janvier 2020 pour que le nombre d'habitants de la ville A double selon ce modèle.
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie B : Étude de la population de la ville B}
\medskip
On admet que l'évolution du nombre d'habitants de la ville B a été modélisée par la suite arithmétique $\suiten[v]$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
\[
v_n = 6 + 0{,}1n
\]
où $n$ est le nombre d'années écoulées depuis le 1$^{\text{er}}$ janvier 2020 et $v_n$ est le nombre d'habitants l'année $2020 + n$, exprimé en millions.
\begin{enumerate}
\item Donner les deux premiers termes $v_0$, $v_1$ de la suite $\suiten[v]$ ainsi que sa raison.
\item Selon ce modèle, calculer le nombre d'habitants de la ville B au 1$^{\text{er}}$ janvier 2035.
\item Déterminer, par le calcul, le nombre d'années nécessaires pour que la population de la ville B soit égale à $7{,}3$ millions d'habitants selon ce modèle.
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie C : Comparaison de la population des deux villes}
\medskip
Estimer, à l'aide du graphique ci-dessus, en quelle année la population de la ville A dépassera celle de la ville B.
\end{ExerciceEAM}
\end{document}