% !TeX TXS-program:compile = txs:///pdflatex
\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
\usepackage[margin=2cm,includeheadfoot]{geometry}
\usepackage{ProfLycee}
\useproflyclib{ecritures,tikz2d,tikz3d,cas}
\RequirePackage[upright]{fourier}
\usepackage{amsmath,amssymb,amstext}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand\ttdefault{lmtt}
\usepackage{cabin,decimalcomma,ibrackets,esvect,bm}
\usepackage{hyperref,lastpage,enumitem,fancyhdr}
\usepackage{tabularx,multicol,wrapstuff,twemojis,logoetalab}
\usepackage[nonpgfplots]{tkz-grapheur}
\usepackage[pastableur]{customenvs}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{hobby}
\usepackage{babel}
\newcommand{\session}{2026}
\newcommand{\annee}{2026}
\newcommand{\serie}{Sans spécialité}
\newcommand{\lieu}{Polynésie}
\newcommand{\jour}{4}
\newcommand{\mois}{septembre}
\newcommand{\numsujet}{3}
\newcommand{\codesujet}{26-MATGEPO3}
\newcommand{\nomfichier}{[BAC, épreuve anticipée de mathématiques] \lieu{} (\mois{} \annee)}
\def\listenumexos{1,2,3}
\setsepchar{,}
\def\repartpts{6,14,5,4,5}\readlist*\nbptsexo{\repartpts}
\def\repartthemes{%
{Suites / Tableur},
{Probabilités},
{Fonctions / Dérivation}
}\readlist*\themessexo{\repartthemes}
\title{\nomfichier}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate[1]{font=\bfseries}
\setenumerate[2]{font=\bfseries,label=\alph*.}
\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfborder=0 0 0,pdfstartview=FitH}
%transcription principale faite par claude.ai
\lhead{\scriptsize\sffamily Épreuve anticipée de mathématiques \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \hyperlink{sommaire}{\lieu{} \serie{} - Sujet \numsujet}}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
\lfoot{\scriptsize\sffamily \affloetalab[Legende,TexteLegende={Licence Etalab 2.0}]}
\cfoot{\scriptsize\sffamily \codesujet}
\rfoot{\scriptsize\sffamily - \thepage{}/{}\pageref{LastPage} -}
\setlength{\parindent}{0pt}
\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
\newcommand\suiten[1][u]{\left(#1_n\right)}
\newcommand\vect[1]{\vv{#1}}
\NewDocumentCommand\eamreponsesautom{ O{2} D<>{0.975\linewidth} m m m m }{%
\ExamReponsesQCM%
[Filets,NbCols=#1,PoliceLabels={\bfseries},Labels={A.},Largeur=#2,Swap]%
{{#3},{#4},{#5},{#6}}%
<rowsep=4pt,colsep=8pt>
}
\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
\newlength\tmpemojipen
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exoautomat}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Première partie : Automatismes (\nbptsexo[1] points)}\\\\
\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exos}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Deuxième partie (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[2]} points)}\\\\
\foreach \i in {1,...,#1}{%
\xdef\j{\inteval{\i+2}}%
\hspace*{5mm}\textcolor{green!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[X,X]{\nbptsexo[\j]} points)}\\%
\hspace*{12mm}\textcolor{purple}{\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
}%
\end{tcolorbox}%
\vspace*{0.25cm}
\settowidth\tmpemojipen{\hbox{\twemoji[height=1cm]{memo}}}%
\begin{tcolorbox}[enhanced,width=0.875\linewidth,colframe=red!50!black,colback=red!1,flush right,fontupper=\footnotesize\cabin,left=1.25\tmpemojipen,underlay={\draw ([xshift=0.75\tmpemojipen]frame.west) node[] {\twemoji[height=1cm]{memo}} ;}]
La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. \\
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
\end{tcolorbox}%
\vspace*{0.75cm}
\hfill\pictostamp[radius=2cm,maincolor=violet!50!black]{\codesujet}\hfill\null
}
\NewDocumentEnvironment{AutomatQuestEAM}{ m }%
{%
\tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill,breakable]
\textbf{\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Question #1}}
\smallskip
}%
{%
\endtcolorbox%
}
\NewDocumentEnvironment{ExerciceEAM}{ m }%
{%
\hypertarget{exon#1}{}%
\tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill,breakable]
\textbf{\large\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Exercice #1}~(\nbptsexo[\numexpr#1+2\relax] points)}
\medskip
}%
{%
\endtcolorbox%
}
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=4cm]{poly}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}
\part*{EAM \og \serie{} \fg, \lieu, \mois{} \annee}
\vspace{0.25cm}
\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=violet!50!black,colback=violet!1,fontupper=\cabin]
Voie générale : candidats ne suivant pas l'enseignement de spé. de mathématiques.
\medskip
Durée : 2 heures. L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.
\end{tcolorbox}
\vspace{0.25cm}
\sujetbaclabelexos{3}
\pagebreak
%===============================================================
\hypertarget{exoautomat}{}\section*{PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES -- QCM (\nbptsexo[1] points)}
%===============================================================
\smallskip
\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.}
\medskip
Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.
\medskip
\begin{AutomatQuestEAM}{1}
Pour tout nombre réel $x$, $(5x-2)^2$ est égal à :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$5x^2 - 4$}{$(5x-2)(5x+2)$}{$25x^2 + 4$}{$25x^2 - 20x + 4$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{2}
Le nombre $\dfrac{1}{4} \times \dfrac{8}{5} - \dfrac{1}{5}$ est égal à :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$\dfrac{1}{4}$}{$\dfrac{7}{20}$}{$\dfrac{19}{15}$}{$\dfrac{1}{5}$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{3}
Multiplier une quantité par $\dfrac{3}{4}$, c'est lui appliquer :
\smallskip
\eamreponsesautom[1]{une baisse de $25\,\%$}{une hausse de $25\,\%$}{une baisse de $75\,\%$}{une hausse de $75\,\%$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{4}
Dans l'ensemble des nombres réels, l'équation $(2x-4)(-3x+3) = 0$ a pour ensemble de solutions :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$S = \{2;-1\}$}{$S = \{2;1\}$}{$S = [2;-1]$}{$S = [2;1]$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{5}
Le prix d'un article a subi une baisse de $50\,\%$ en 2024 puis ensuite il augmente de $50\,\%$ en 2025. Entre le début 2024 et la fin 2025, le prix de l'article :
\smallskip
\eamreponsesautom[1]{n'a pas changé}{a augmenté de $5\,\%$}{a diminué de $25\,\%$}{a augmenté de $25\,\%$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{6}
\begin{wrapstuff}[r,abovesep=-6mm]
\begin{GraphiqueTikz}[x=0.6cm,y=0.6cm,Xmin=-1,Xmax=5,Xgrilles=0.2,Ymin=-2,Ymax=6,Ygrilles=0.2]<Theme=standard>
\TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\footnotesize]{-1,0,...,4}{-2,-1,...,5}
\TracerCourbe[Couleur=black,Debut=-1.2,Fin=6.2]{-2*x+5}
\MarquerPts[Couleur=black,Style=o]{(3,-1)/$A$/left,(1,3)/$B$/above right}
\end{GraphiqueTikz}
\end{wrapstuff}
On considère la fonction affine $f$ dont la représentation graphique, donnée ci-contre, est la droite passant par les points $A(3;-1)$ et $B(1;3)$.
Pour tout réel $x$ :
\smallskip
\eamreponsesautom[1]<\linewidth-6cm>{$f(x) = 5x + 2{,}5$}{$f(x) = -2x + 5$}{$f(x) = -2{,}5x + 5$}{$f(x) = -0{,}5x + 5$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{7}
\hfill%
\begin{tblr}{hlines,vlines,width=0.6\linewidth,colspec={X[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]}}
Notes & $18$ & $11$ & $16$ \\
Coefficients & $1$ & $2$ & $1$ \\
\end{tblr}%
\hfill\null
\medskip
La moyenne coefficientée des trois notes ci-dessus est égale à :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$15$}{$14{,}5$}{$14$}{$13{,}5$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{8}
Un salarié a réalisé $6{,}4$ heures supplémentaires. Cela correspond à :
\smallskip
\eamreponsesautom[1]{$6$ heures et $20$ minutes}{$640$ minutes}{$6$ heures et $40$ minutes}{$6$ heures et $24$ minutes}
\end{AutomatQuestEAM}
\pagebreak
%===============================================================
\hypertarget{exos}{}\section*{DEUXIÈME PARTIE (\nbptsexo[2] points)}
%===============================================================
\begin{ExerciceEAM}{1}
En 2025, une étude démographique indique qu'il y a eu $60\,000$ naissances et $40\,000$ décès dans une population donnée. Les spécialistes modélisent que le nombre de naissances diminuera de $2\,\%$ chaque année, tandis que le nombre de décès augmentera de $900$ par an.
Soit $n$ un entier naturel. On note :
\begin{itemize}
\item $u_n$ le nombre de naissances prévues l'année $2025 + n$ ;
\item $v_n$ le nombre de décès prévus l'année $2025 + n$.
\end{itemize}
On a donc $u_0 = 60\,000$ et $v_0 = 40\,000$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre de naissances prévues l'année 2026.
\item Déterminer le nombre de décès prévus l'année 2026.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Justifier que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0{,}98\,u_n$.
\item La suite $\suiten$ est-elle arithmétique ou géométrique ? Préciser sa raison.
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Justifier que la suite $\suiten[v]$ est arithmétique. Préciser sa raison.
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\item La feuille de calcul ci-dessous donne les valeurs successives de $u_n$ et de $v_n$ (les valeurs sont évidemment arrondies à l'unité).
\medskip
\hfill%
\begin{tikzpicture}
\tableur*[9]{A/1.8cm,B/1.8cm,C/1.8cm}
\celtxt*[align=center]{A}{1}{$n$}
\celtxt*[align=center]{B}{1}{$u_n$}
\celtxt*[align=center]{C}{1}{$v_n$}
\renumLine{4}{$\ldots$}
\renumLine{5}{11}\renumLine{6}{12}\renumLine{7}{13}\renumLine{8}{14}\renumLine{9}{15}
\colonnetxt*[align=center]{A}<2>{$0$,$1$,$\ldots$,$9$,$10$,$11$,$12$,$13$}
\colonnetxt*[align=center]{B}<2>{$60\,000$,$58\,800$,$\ldots$,$50\,025$,$49\,024$,$48\,044$,$47\,083$,$46\,141$}
\colonnetxt*[align=center]{C}<2>{$40\,000$,$40\,900$,$\ldots$,$48\,100$,$49\,000$,$49\,900$,$50\,800$,$51\,700$}
\end{tikzpicture}%
\hfill\null
\begin{enumerate}
\item Quelle formule doit-on saisir dans la cellule \textsf{C3} de sorte que, recopiée vers le bas, elle permette d'afficher les valeurs de la suite $\suiten[v]$ ?
\item Justifier, par un calcul, pourquoi $49\,000$ est affiché dans la cellule \textsf{C12}.
\end{enumerate}
\item On appelle solde naturel annuel la différence entre le nombre de naissances et le nombre de décès de l'année. Ainsi le solde naturel en 2025 est $20\,000$.
À l'aide de la feuille de calcul ci-dessus, déterminer à partir de quelle année le solde naturel de cette population devient négatif.
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}
\pagebreak
\begin{ExerciceEAM}{2}
Un magasin d'ameublement interroge $1\,000$ clients ayant réalisé un achat au cours des $12$ derniers mois, soit en magasin, soit sur internet (un seul mode d'achat par client).
Parmi les $1\,000$ clients, $400$ ont acheté sur internet.
$90\,\%$ des acheteurs sur internet sont satisfaits et $20\,\%$ des acheteurs en magasin ne sont pas satisfaits.
On choisit au hasard un client et on considère les événements :
\begin{itemize}
\item $I$ : \og le client a acheté sur internet \fg{} ;
\item $S$ : \og le client est satisfait \fg{} ;
\item $\overline{I}$ et $\overline{S}$ sont les événements contraires respectifs de $I$ et de $S$.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau suivant représentant la situation.
\medskip
\hfill%
\begin{tblr}{vline{1}={2-Z}{solid},vline{2-Z}={solid},hline{1}={2-Z}{solid},hline{2-Z}={solid},width=0.7\linewidth,colspec={Q[m,l]X[m,c]X[m,c]X[m,c]},cells={font=\small}}
& Achat sur internet ($I$) & Achat en magasin ($\overline{I}$) & Total \\
Satisfait ($S$) & & & \\
Non satisfait ($\overline{S}$) & & & \\
Total & $400$ & & $1\,000$ \\
\end{tblr}%
\hfill\null
\item Calculer la probabilité que le client ait acheté en magasin et soit satisfait.
\item Sachant que le client n'est pas satisfait, calculer la probabilité qu'il ait fait son achat sur internet.
\item Une stratégie d'amélioration sera mise en place si plus de $10\,\%$ des clients ne sont pas satisfaits de leur achat.
Cette stratégie sera-t-elle mise en place ? Justifier.
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}
\pagebreak
\begin{ExerciceEAM}{3}
Le nombre hebdomadaire de consultations lors d'une épidémie de grippe saisonnière, pendant $10$ semaines consécutives, est modélisé par la fonction $f$, définie sur l'intervalle $[0;10]$ par $f(t) = -25t^2 + 300t + 400$, où $t$ représente le nombre de semaines écoulées depuis le début de l'épidémie.
La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ est donnée ci-dessous dans un repère du plan.
\begin{Centrage}
\begin{GraphiqueTikz}[x=1cm,y=0.0075cm,Xmin=0,Xmax=10,Xgrilles=0.2,Ymin=0,Ymax=1400,Ygrille=100,Ygrilles=20]<Theme=standard>
\TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\footnotesize,Elargir=2.5mm]{0,1,...,10}{0,100,...,1400}
\PlacerTexte[Police=\footnotesize\sffamily,Position=below right]{(0,1400)}{Nombre de consultations}
\PlacerTexte[Police=\footnotesize\sffamily,Position=above left]{(10,0)}{nombre de semaines}
\DefinirCourbe[Trace,Couleur=purple!70!black,Debut=0,Fin=10]{-25*x^2+300*x+400}
\PlacerTexte[Couleur=purple!70!black]{(9,975)}{$\mathcal{C}_f$}
\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}
\medskip
\textbf{Partie A : lecture graphique}
\medskip
En utilisant le graphique ci-dessus :
\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre de consultations $2$ semaines après le début de l'épidémie.
\item Déterminer l'intervalle de temps pour lequel le nombre de consultations dépasse $1\,200$.
\item Au bout de combien de semaines après le début de l'épidémie le nombre de consultations est-il maximal ? Quelle est cette valeur maximale ?
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie B : Étude de la fonction $\bm{f}$}
\medskip
\begin{enumerate}
\item Calculer $f(0)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Justifier que, pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0;10]$, $f'(t) = -50t + 300$.
\item Résoudre dans l'intervalle $[0;10]$ l'équation $f'(t) = 0$.
\item Étudier le signe de $f'(t)$, puis dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;10]$. On donne $f(6) = 1\,300$.
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}
\end{document}