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\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
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\newcommand{\jour}{}
\newcommand{\mois}{Janvier}
\newcommand{\numsujet}{\og Zéro \fg{} n°1}
\newcommand{\nomfichier}{[BAC, épreuve anticipée de mathématiques] \lieu{} (\mois{} \annee)}
\def\listenumexos{1,2,3,4}
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\def\repartpts{6,14,X,X}\readlist*\nbptsexo{\repartpts}
\def\repartthemes{%
{Géométrie analytique},
{Fonctions / Suites}
}\readlist*\themessexo{\repartthemes}
\title{\nomfichier}
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%transcription principale faite par mistral.ai
\lhead{\scriptsize\sffamily Épreuve anticipée de mathématiques \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \hyperlink{sommaire}{\lieu{} \serie{} - Sujet \numsujet}}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
\lfoot{\scriptsize\sffamily \affloetalab[Legende,TexteLegende={Licence Etalab 2.0}]}
\cfoot{\scriptsize\sffamily 26-MATEASPEUN}
\rfoot{\scriptsize\sffamily - \thepage{}/{}\pageref{LastPage} -}
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%divers
\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
\newcommand\Rij{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath}\right)}
\newcommand\Rijk{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath},\,\vect{k}\right)}
\newcommand\intervOO[2]{\left]#1;#2\right[}
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\newcommand\suiten[1][u]{\left(#1_n\right)}
\newcommand\vect[1]{\vv{#1}}
\usepackage{forest}
\forestset{
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aproba/.style = {edge label = {node[above=6pt,pos=.5,fill=white] {$#1$}}},%poids au-dessus
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\tikzset{
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\newcommand\qcmun[5][1]{%
\begin{tblr}{width=#1\linewidth,colspec={X[m,l]}}
\textbf{a)}~~#2 \\
\textbf{b)}~~#3 \\
\textbf{c)}~~#4 \\
\textbf{d)}~~#5 \\
\end{tblr}
}
\newcommand\qcmdeux[5][1]{%
\begin{tblr}{width=#1\linewidth,colspec={*{2}{X[m,l]}}}
\textbf{a)}~~#2 & \textbf{b)}~~#3 \\
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\end{tblr}
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\newcommand\qcm[5][1]{%
\begin{tblr}{width=#1\linewidth,colspec={*{4}{X[m,l]}}}
\textbf{a)}~~#2 & \textbf{b)}~~#3 & \textbf{c)}~~#4 & \textbf{d)}~~#5 \\
\end{tblr}
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\newcommand\qcmgraph[5][1]{%
\begin{tblr}{width=#1\linewidth,colspec={*{4}{X[m,l]}},row{2}={c}}
\textbf{a)} & \textbf{b)} & \textbf{c)} & \textbf{d)} \\
#2 & #3 & #4 & #5 \\
\end{tblr}
}
\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exoautomat}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Première partie : Automatismes (\nbptsexo[1] points)}\\\\
%
\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exos}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Deuxième partie (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[2]} points)}\\\\
\foreach \i in {1,...,#1}{%
\xdef\j{\inteval{\i+2}}%
\hspace*{5mm}\textcolor{green!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[X,X]{\nbptsexo[\j]} points)}\\%
\hspace*{12mm}\textcolor{purple}{\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
}%
\end{tcolorbox}%
}
\newcommand\automatquest[1]{%
\underline{\textbf{$\blacktriangleright$~Question #1}}
\smallskip
}
\NewDocumentEnvironment{AutomatQuestEAM}{ m }%
{%
\tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill]
\textbf{\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Question #1}}
\smallskip
}%
{%
\endtcolorbox%
}
\NewDocumentEnvironment{ExerciceEAM}{ m }%
{%
\hypertarget{exon#1}{}%
\tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill]
\textbf{\large\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Exercice #1}~(\nbptsexo[\numexpr#1+2\relax] points)}
\medskip
}%
{%
\endtcolorbox%
}
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\hfill\twemoji[height=5cm]{bullseye}\hfill\null
\part*{Épreuve anticipée de mathématiques \og \serie{} \fg,\\\mois{} \annee, sujet \numsujet}
\vspace{1cm}
\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=violet!50!black,colback=violet!1,fontupper=\cabin]
Voie générale : candidats suivant l’enseignement de spécialité de mathématiques.
\medskip
Durée : 2 heures. L’usage de la calculatrice n’est pas autorisé.
\end{tcolorbox}
\vspace{1cm}
\sujetbaclabelexos{2}
\pagebreak
\hypertarget{exoautomat}{}\section*{PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES -- QCM (\nbptsexo[1] points)} %exoautomaqcm
\smallskip
\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.}
\medskip
\begin{AutomatQuestEAM}{1}
L'inverse du double de 5 est égal à :
\smallskip
\qcm{$\frac{2}{5}$}{$\frac{1}{10}$}{$\frac{5}{2}$}{10}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{2}
On considère la relation $F = a + \frac{b}{c d}$.
\smallskip
Lorsque $a = \frac{1}{2}$, $b = 3$, $c = 4$, $d = -\frac{1}{4}$, la valeur de $F$ est égale à :
\smallskip
\qcm{$-\frac{5}{2}$}{$-\frac{3}{2}$}{$\frac{5}{2}$}{$\frac{3}{2}$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{3}
Le prix d'un article est multiplié par 0,975.
Cela signifie que le prix de cet article a connu :
\smallskip
\qcmdeux{une baisse de $2,5\,\%$}{une augmentation de $97,5\,\%$}{une baisse de $25\,\%$}{une augmentation de $0,975\,\%$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{4}
Le prix d'un article est noté $P$. Ce prix augmente de $10\,\%$ puis baisse de $10\,\%$. À l'issue de ces deux variations, le nouveau prix est noté $P_{1}$. On peut affirmer que :
\smallskip
\qcm{$P_{1} = P$}{$P_{1} > P$}{$P_{1} < P$}{Cela dépend de $P$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{5}
On lance un dé à 4 faces. La probabilité d'obtenir chacune des faces est donnée dans le tableau ci-dessous :
\smallskip
\begin{tblr}{width=0.975\linewidth,hlines,vlines,colspec={X[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]}}
Face numéro 1 & Face numéro 2 & Face numéro 3 & Face numéro 4 \\
$0,5$ & $\dfrac{1}{6}$ & $0,2$ & $x$ \\
\end{tblr}
\smallskip
On peut affirmer que :
\qcm{$x = \frac{2}{15}$}{$x = \frac{2}{3}$}{$x = 0,4$}{$x = 0,1$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{6}
On considère $x$, $y$, $u$ des réels non nuls tels que $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{u}$. On peut affirmer que :
\smallskip
\qcm{$u = \frac{x y}{x + y}$}{$u = \frac{x + y}{x y}$}{$u = x y$}{$u = x + y$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{7}
\begin{wrapstuff}[r,leftsep=7.5mm,abovesep=-6.5mm]
\begin{GraphiqueTikz}[x=0.5cm,y=0.125cm,Xmin=-4.5,Xmax=4.5,Ymin=-1,Ymax=20]
\TracerAxesGrilles[Origine,Grille=false]{}{10}
\TracerCourbe[Couleur=red]{x^2}
\end{GraphiqueTikz}
\end{wrapstuff}
On a représenté ci-contre la parabole d'équation $y = x^{2}$. On note $(\mathcal{I})$ l'inéquation, sur $\R$, $x^{2} \geqslant 10$. L'inéquation $(\mathcal{I})$ est équivalente à :
\smallskip
\qcmdeux[0.85]{$-\sqrt{10} \leqslant x \leqslant \sqrt{10}$}{$x \leqslant -\sqrt{10}$ ou $x \geqslant\sqrt{10}$}{$x \geqslant\sqrt{10}$}{$x = \sqrt{10}$ ou $x = -\sqrt{10}$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{8}
\begin{wrapstuff}[r,leftsep=7.5mm,abovesep=-6.5mm]
\begin{GraphiqueTikz}[x=0.4cm,y=0.4cm,Xmin=-3.5,Xmax=7.5,Xgrilles=1,Ymin=-2.5,Ymax=4.5,Ygrilles=1]
\TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\footnotesize]{-3,-2,...,7}{-2,-1,...,4}
\TracerCourbe[Couleur=red]{-2/3*x+2}
\PlacerTexte[Couleur=red,Position=above left]{(2,1)}{$D$}
\end{GraphiqueTikz}
\end{wrapstuff}
On a représenté ci-contre une droite $\mathcal{D}$ dans un repère orthonormé. Une équation de la droite $\mathcal{D}$ est :
\smallskip
\qcmdeux[0.85]{$y = -\frac{3}{2} x + 2$}{$y = \frac{2}{3} x + 2$}{$2 x - 3 y - 6 = 0$}{$\frac{x}{3} + \frac{y}{2} - 1 = 0$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{9}
On considère trois fonctions définies sur $\R$ :
$f_{1}~:~x \mapsto x^{2} - (1 - x)^{2}$ \hfill $f_{2}~:~x \mapsto \frac{x}{2} - \left(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ \hfill $f_{3}~:~x \mapsto \frac{5 - \frac{2}{3} x}{0,7}$\hfill\null
\smallskip
Parmi ces trois fonctions, celles qui sont des fonctions affines sont :
\qcmdeux{aucune}{toutes}{uniquement la fonction $f_{1}$}{uniquement les fonctions $f_{2}$ et $f_{3}$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{10}
\begin{wrapstuff}[r,leftsep=7.5mm,abovesep=-6.5mm]
\begin{GraphiqueTikz}[x=0.5cm,y=0.125cm,Xmin=-5,Xmax=6.4,Ymin=-8,Ymax=15]
\TracerAxesGrilles[Origine,Grille=false]{}{}
\TracerCourbe[Couleur=red]{-x^2+10}
\PlacerTexte[Couleur=red]{(2.5,10)}{$\mathcal{P}$}
\end{GraphiqueTikz}
\end{wrapstuff}
On a représenté ci-contre une parabole $\mathcal{P}$. Une seule des quatre fonctions ci-dessous est susceptible d'être représentée par la parabole $\mathcal{P}$. Laquelle ?
\smallskip
\qcmdeux[0.85]{$x \mapsto x^{2} - 10$}{$x \mapsto -x^{2} - 10$}{$x \mapsto -x^{2} + 10$}{$x \mapsto -x^{2} + 10 x$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{11}
\begin{wrapstuff}[r,leftsep=7.5mm,abovesep=-6.5mm]
\begin{GraphiqueTikz}[x=0.9cm,y=0.9cm,Xmin=-3,Xmax=3,Ymin=-2.25,Ymax=1.75]
\TracerAxesGrilles[Origine,Grille=false]{}{}
\GenererPolynomeLagrange{-2.5,-1.45,0.25,2.55}{-1.9,0.85,0.75,-0.25}
\TracerCourbe[Couleur=red]{polylagrange(x)}
\PlacerTexte[Couleur=red]{(0.95,0.4)}{$\mathcal{C}$}
\MarquerPts[Couleur=blue]{(-2.5,-1.9)/$A$/left,(-1.45,0.85)/$B$/above left,(0.25,0.75)/$R$/above,(2.55,-0.25)/$S$/below right}
\end{GraphiqueTikz}
\end{wrapstuff}
On a représenté ci-contre la courbe $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$. Les points $A$, $B$, $R$ et $S$ appartiennent à la courbe $\mathcal{C}$. Leurs abscisses sont notées respectivement $x_{A}$, $x_{B}$, $x_{R}$ et $x_{S}$.
\smallskip
L'inéquation $x \times f(x) > 0$ est vérifiée par :
\smallskip
\qcmdeux[0.85]{$x_{A}$ et $x_{B}$}{$x_{A}$ et $x_{R}$}{$x_{A}$ et $x_{S}$}{$x_{A}$, $x_{B}$ et $x_{S}$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{12}
Voici une série de notes avec les coefficients associés.
\medskip
\begin{tblr}{width=0.975\linewidth,hlines,vlines,colspec={X[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]}}
Note & 10 & 8 & 16 \\
Coefficient & 1 & 2 & $x$ \\
\end{tblr}
\medskip
On note $m$ la moyenne de cette série. Que doit valoir $x$ pour que $m=15$ ?
\qcmdeux{impossible}{$x=10^{-3}$}{$x=3$}{$x=19$}
\end{AutomatQuestEAM}
\pagebreak
\hypertarget{exos}{}\section*{DEUXIÈME PARTIE (\nbptsexo[2] points)} %exos
\begin{ExerciceEAM}{1}
On considère la figure suivante, représentée dans un repère orthonormé $\Rij$.
\begin{Centrage}
\begin{tikzpicture}[x=1.5cm,y=1.5cm]
\draw[thick,->,>=latex] (-0.75,0)--(5.25,0) ;
\draw[thick,->,>=latex] (0,-0.75)--(0,5.25) ;
\draw (0,0) node[below left] {$O$} ;
\draw[very thick,->,>=latex] (0,0)--(1,0) node[midway,below] {$\vect{\imath}$} ;
\draw[very thick,->,>=latex] (0,0)--(0,1) node[midway,left] {$\vect{\jmath}$} ;
%tkz-euclide
\tkzDefPoints{4/3/I,1.92/1.44/H,0/4/C}
\tkzMarkRightAngle[draw=green!50!black,fill=green!20,size=.35](I,H,C)
%bak to normal
\draw[ultra thick,red] (2,2) circle[radius=0.5] ;
\draw (4,0) node[below,font=\footnotesize] {$4$} ;
\draw (0,4) node[left,font=\footnotesize] {$4$} ;
\draw[ultra thick,darkgray] (0,0) rectangle (4,4) ;
\draw[ultra thick,darkgray] (0,4)--(1.92,{0.75*1.92})--(4,3) ;
\filldraw (4,0) circle[radius=2.25pt] node[above right] {$A$} (4,4) circle[radius=2.25pt] node[above right] {$B$} (4,3) circle[radius=2.25pt] node[right] {$I$} (0,4) circle[radius=2.25pt] node[above right] {$C$} (1.92,{0.75*1.92}) circle[radius=3pt] node[below] {$H$} ;
\filldraw[blue] (2,2) circle[radius=2.25pt] ;
\end{tikzpicture}
\end{Centrage}
On dispose des données suivantes :
\begin{itemize}
\item le quadrilatère $OABC$ est un carré de côté 4 ;
\item on a $A(4; 0)$, $B(4; 4)$, $C(0; 4)$, $I(4; 3)$ ;
\item le point $H$ est le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(OI)$ ;
\item on note $\mathcal{E}$ le cercle de centre $D(2; 2)$ et de rayon $0,5$.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{OI}$ et $\vect{OC}$.
\item En déduire le produit scalaire $\vect{OI} \cdot \vect{OC}$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Exprimer le produit scalaire $\vect{OI} \cdot \vect{OC}$ en fonction des longueurs $OH$ et $OI$.
\item Calculer la longueur $OI$.
\item En déduire que $OH = 2,4$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation cartésienne de la droite $(CH)$.
\item Justifier qu'une équation du cercle $\mathcal{E}$ est : \[ x^{2} + y^{2} - 4x - 4y + 7,75 = 0. \]
\item Le point $M(1,5; 2)$ appartient-il à l'intersection du cercle $\mathcal{E}$ et de la droite $(CH)$ ? Justifier.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}
\pagebreak
\begin{ExerciceEAM}{2}
On se place dans un repère $\Rij$ orthogonal.
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ par $g(x) = x^{2} - 5x + 4$. On note $\mathcal{P}$ la courbe représentative de la fonction $g$.
\begin{enumerate}
\item Étudier le signe de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$.
\item On considère un entier naturel $n$ quelconque.
On note $A_{n}$ le point de la courbe $\mathcal{P}$ d'abscisse $n$.
On note $a_{n}$ le coefficient directeur de la droite $(A_{n}A_{n+1})$.
Justifier que pour tout entier naturel $n$, on a $a_{n} = 2n - 4$.
\item Quelle est la nature de la suite $(a_{n})$ ?
\end{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0,5; 8]$ par \[ f(x) = x - 5 + \frac{4}{x}. \]
%
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que pour tout réel $x$, de l'intervalle $[0,5; 8]$ on a $f(x) = \frac{g(x)}{x}$.
\item À l'aide de la question \textbf{1.a.}, déterminer la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à l'axe des abscisses.
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0,5; 8]$. Montrer que tout réel $x$ de l'intervalle $[0,5; 8]$ on a : \[ f'(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x^{2}}. \]
\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0,5; 8]$.
\item Réaliser un schéma de l'allure de la courbe $\mathcal{C}$ sur lequel apparaîtront les résultats des questions \textbf{2.b.} et \textbf{2.d.}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}
\end{document}