% !TeX TXS-program:compile = txs:///pdflatex
\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
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\newcommand{\session}{2026}
\newcommand{\annee}{2026}
\newcommand{\serie}{Spécialité}
\newcommand{\lieu}{Métropole}
\newcommand{\jour}{11}
\newcommand{\mois}{septembre}
\newcommand{\numsujet}{1}
\newcommand{\codesujet}{26-MATSPEGEME3}
\newcommand{\nomfichier}{[BAC, épreuve anticipée de mathématiques] \lieu{} (\mois{} \annee)}
\def\listenumexos{1,2,3}
\setsepchar{,}
\def\repartpts{6,14,5,5,4}\readlist*\nbptsexo{\repartpts}
\def\repartthemes{%
{Probabilités / Arbre pondéré},
{Vrai\&{}Faux},
{Fonctions / Exponentielle}
}\readlist*\themessexo{\repartthemes}
\title{\nomfichier}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate[1]{font=\bfseries}
\setenumerate[2]{font=\bfseries,label=\alph*.}
\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfborder=0 0 0,pdfstartview=FitH}
%transcription principale faite par claude.ai
\lhead{\scriptsize\sffamily Épreuve anticipée de mathématiques \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \hyperlink{sommaire}{\lieu{} \serie{} - Sujet \numsujet}}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
\lfoot{\scriptsize\sffamily \affloetalab[Legende,TexteLegende={Licence Etalab 2.0}]}
\cfoot{\scriptsize\sffamily \codesujet}
\rfoot{\scriptsize\sffamily - \thepage{}/{}\pageref{LastPage} -}
\setlength{\parindent}{0pt}
\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
\newcommand\suiten[1][u]{\left(#1_n\right)}
\newcommand\vect[1]{\vv{#1}}
\NewDocumentCommand\eamreponsesautom{ O{2} D<>{0.975\linewidth} m m m m }{%
\ExamReponsesQCM%
[Filets,NbCols=#1,PoliceLabels={\bfseries},Labels={a.},Largeur=#2,Swap]%
{{#3},{#4},{#5},{#6}}%
}
\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
\newlength\tmpemojipen
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exoautomat}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Première partie : Automatismes (\nbptsexo[1] points)}\\\\
\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exos}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Deuxième partie (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[2]} points)}\\\\
\foreach \i in {1,...,#1}{%
\xdef\j{\inteval{\i+2}}%
\hspace*{5mm}\textcolor{green!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[X,X]{\nbptsexo[\j]} points)}\\%
\hspace*{12mm}\textcolor{purple}{\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
}%
\end{tcolorbox}%
\vspace*{0.25cm}
\settowidth\tmpemojipen{\hbox{\twemoji[height=1cm]{memo}}}%
\begin{tcolorbox}[enhanced,width=0.875\linewidth,colframe=red!50!black,colback=red!1,flush right,fontupper=\footnotesize\cabin,left=1.25\tmpemojipen,underlay={\draw ([xshift=0.75\tmpemojipen]frame.west) node[] {\twemoji[height=1cm]{memo}} ;}]
La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. \\
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
\end{tcolorbox}%
\vspace*{0.2cm}
\hfill\pictostamp[radius=2cm,maincolor=violet!50!black]{\codesujet}\hfill\null
}
\NewDocumentEnvironment{AutomatQuestEAM}{ m }%
{%
\tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill,breakable]
\textbf{\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Question #1}}
\smallskip
}%
{%
\endtcolorbox%
}
\NewDocumentEnvironment{ExerciceEAM}{ m }%
{%
\hypertarget{exon#1}{}%
\tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill,breakable]
\textbf{\large\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Exercice #1}~(\nbptsexo[\numexpr#1+2\relax] points)}
\medskip
}%
{%
\endtcolorbox%
}
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=4cm]{fr.v1}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}
\part*{EAM \og \serie{} \fg, \lieu, \mois{} \annee}
\vspace{0.25cm}
\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=violet!50!black,colback=violet!1,fontupper=\cabin]
Voie générale : candidats suivant l'enseignement de spécialité de mathématiques.
\medskip
Durée : 2 heures. L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.
\end{tcolorbox}
\vspace{0.25cm}
\sujetbaclabelexos{3}
\pagebreak
%===============================================================
\hypertarget{exoautomat}{}\section*{PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES -- QCM (\nbptsexo[1] points)}
%===============================================================
\smallskip
\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.}
\medskip
Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.
\medskip
\begin{AutomatQuestEAM}{1}
Un prix, noté $P$, baisse de $3\,\%$. Le nouveau prix est égal à
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$\dfrac{P}{0{,}70}$}{$\dfrac{P}{1{,}03}$}{$0{,}97 \times P$}{$P - 0{,}97$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{2}
Une forme développée de $(3x-1)^2$ est
\smallskip
\eamreponsesautom[2]{$9x^2+1$}{$6x-2$}{$3x^2-6x+1$}{$9x^2-6x+1$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{3}
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = -5(x-1)(x+3)$.
La représentation graphique de la fonction $f$ est :
\medskip
\eamreponsesautom[2]%
{%
\begin{GraphiqueTikz}[baseline=(current bounding box.center)]
\TracerAxesGrilles*[Grille=false,Origine,Police=\tiny]{-4,-3,...,3}{-30,-20,...,30}
\TracerCourbe[Couleur=magenta]{5(x-1)(x+3)}
\end{GraphiqueTikz}
}%
{%
\begin{GraphiqueTikz}[baseline=(current bounding box.center)]
\TracerAxesGrilles*[Grille=false,Origine,Police=\tiny]{-3,-2,...,3}{-30,-20,...,30}
\TracerCourbe[Couleur=magenta]{5(x+3)x(x-1)}
\end{GraphiqueTikz}
}%
{%
\begin{GraphiqueTikz}[baseline=(current bounding box.center)]
\TracerAxesGrilles*[Grille=false,Origine,Police=\tiny]{-4,-3,...,3}{-30,-20,...,30}
\TracerCourbe[Couleur=magenta]{-5(x+3)(x-1)}
\end{GraphiqueTikz}
}%
{%
\begin{GraphiqueTikz}[baseline=(current bounding box.center)]
\TracerAxesGrilles*[Grille=false,Origine,Police=\tiny]{-3,-2,...,4}{-30,-20,...,30}
\TracerCourbe[Couleur=magenta]{-5(x+1)(x-3)}
\end{GraphiqueTikz}
}%
\end{AutomatQuestEAM}
\pagebreak
\begin{AutomatQuestEAM}{4}
Parmi les quatre propositions suivantes, une seule est vraie. Laquelle ?
\smallskip
\eamreponsesautom[2]{$\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{6} > 1$}{$\dfrac{7}{9} > \dfrac{5}{7}$}{$\dfrac{5}{3} < \dfrac{3}{5}$}{$\dfrac{5}{8}-\dfrac{1}{4} > \dfrac{1}{2}$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{5}
\begin{wrapstuff}[r,abovesep=-6mm]
\begin{GraphiqueTikz}[x=0.5cm,y=0.125cm,Xmin=-4.5,Xmax=10.5,Xgrilles=1,Ymin=-0.5,Ymax=32,Ygrille=5,Ygrilles=5]
\TracerAxesGrilles[Police=\footnotesize]{-4,-3,...,10}{5,10,...,30}
\DefinirCourbeSpline[Alt,Trace,Couleur=violet]{-4/15/-7.5 § -2/5/0 § 0.75/30/0 § 3/15/0 § 6.5/26/0 § 9/2.5/0 § 10/15/20}
%\DefinirCourbeInterpo[Couleur=black,Trace,Tension=0.85]{(-4,4)(-3.2,0)(-2,10)(-1,25)(0,29)(1,15)(2,3)(4,7)(6,29)(6.7,29)(7.5,20)(9,2)(9.7,0)(10,10)}
\end{GraphiqueTikz}
\end{wrapstuff}
On donne ci-contre la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-4;10]$.
Avec la précision permise par le graphique, on peut affirmer que l'ensemble solution de l'inéquation
\mbox{$f(x) \leqslant 10$} est :
\smallskip
\eamreponsesautom[1]<\linewidth-7.75cm>%
{$S = [-1;8]$}%
{$S = [-4;-3{,}2] \cup [-1;8] \cup [9{,}7;10]$}%
{$S = [-3{,}2;-1{,}2] \cup [8;9{,}7]$}%
{$S = \{-3{,}2;-1;8;9{,}7\}$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{6}
On considère un réel $x$. Un élève a obtenu les notes suivantes :
\medskip
\hfill%
\begin{tblr}{hlines,vlines,width=0.5\linewidth,colspec={Q[m,l]X[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]},cells={font=\small}}
Note & $12$ & $10$ & $14$ & $x$ \\
Coefficient & $1$ & $1$ & $1$ & $2$ \\
\end{tblr}%
\hfill\null
\medskip
Quelle doit-être la valeur du réel $x$ pour que la moyenne pondérée de l'élève soit égale à $14$ ?
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$11$}{$14$}{$17$}{$20$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{7}
On considère un réel non nul $a$.
\smallskip
Une écriture simplifiée de $\dfrac{(a^5)^2}{a^{-10}}$ est
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$a^{20}$}{$0$}{$a^{-20}$}{$1$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{8}
Dans un repère orthonormé, on considère une droite passant par les points de coordonnées $(0;-5)$ et $(15;0)$. Une équation de cette droite est
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$y = \dfrac{1}{3}x-5$}{$y = \dfrac{1}{3}x+5$}{$y = 3x-5$}{$y = 3x+5$}
\end{AutomatQuestEAM}
\pagebreak
%===============================================================
\hypertarget{exos}{}\section*{DEUXIÈME PARTIE (\nbptsexo[2] points)}
%===============================================================
\begin{ExerciceEAM}{1}
Un médecin reçoit de nombreux patients. On dispose des informations suivantes :
\begin{itemize}
\item $70\,\%$ des patients sont des enfants, les autres sont des adultes ;
\item Lorsque le patient est un enfant, le médecin prescrit des médicaments dans $20\,\%$ des cas ;
\item Lorsque le patient est un adulte, le médecin prescrit des médicaments dans $40\,\%$ des cas.
\end{itemize}
On choisit au hasard un patient reçu par ce médecin.
On considère les événements suivants :
\begin{itemize}
\item $E$ : \og le patient est un enfant \fg{} ;
\item $M$ : \og le médecin prescrit des médicaments \fg.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter l'arbre pondéré ci-dessous.
\medskip
\def\ArbreExoUn{
$E$/\numdots/,
$M$/\numdots/,
$\overline{M}$/\numdots/,
$\overline{E}$/\numdots/,
$M$/\numdots/,
$\overline{M}$/\numdots/
}
\begin{Centrage}
\ArbreProbasTikz[PositionProbas=auto]{\ArbreExoUn}
\end{Centrage}
\item Calculer la probabilité $P(\overline{E} \cap M)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Montrer que la probabilité que le médecin prescrive des médicaments au patient est égale à $0{,}26$.
\item Les événements $E$ et $M$ sont-ils indépendants ? Justifier.
\item On sait que le médecin a prescrit des médicaments au patient.
Quelle est la probabilité que le patient soit un enfant ? On donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}
\pagebreak
\begin{ExerciceEAM}{2}
\textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.}
\hfill\textit{Les trois questions sont indépendantes.}\hfill\null
\begin{enumerate}
\item On considère la suite $\suiten[v]$ définie pour tout entier naturel $n$ par
\[
v_n = 3 \times \left(\dfrac{1}{4}\right)^n.
\]
\textbf{Affirmation :} la suite $\suiten[v]$ est croissante.
\item \textbf{Affirmation :} il n'existe pas de réel $x$ vérifiant $x(1-x) = 4$.
\item On considère un rectangle ABCD tel que $AB = 4$ et $AD = 3$.
Les points K et L sont tels que :
\[
\vect{AK} = \dfrac{3}{4}\vect{AB} \quad \text{et} \quad \vect{CL} = \dfrac{1}{3}\vect{CB}.
\]
\begin{Centrage}
\begin{tikzpicture}[thick,scale=0.9]
\coordinate (A) at (0,0) ;
\coordinate (B) at (4,0) ;
\coordinate (C) at (4,3) ;
\coordinate (D) at (0,3) ;
\coordinate (K) at (3,0) ;
\coordinate (L) at (4,2) ;
\draw[thick] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle ;
\draw[thick] (A)--(B) ;
\fill (A) circle(1.875pt) node[left] {A} ;
\fill (B) circle(1.875pt) node[right] {B} ;
\fill (C) circle(1.875pt) node[right] {C} ;
\fill (D) circle(1.875pt) node[left] {D} ;
\fill (K) circle(1.875pt) node[below] {K} ;
\fill (L) circle(1.875pt) node[right] {L} ;
\end{tikzpicture}
\end{Centrage}
\textbf{Affirmation :} le produit scalaire $\vect{KD} \cdot \vect{KL}$ est égal à $3$.
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}
\pagebreak
\begin{ExerciceEAM}{3}
\begin{wrapstuff}[r,abovesep=-6mm]
\begin{tikzpicture}
\tikzset{ondulation/.style args={#1et#2}{decorate,decoration={random steps, segment length=#1,amplitude=#2}}, ondulation/.default={1.25mm et 0.1mm}}
%vagues
\draw[line width=0.75mm,teal,ondulation={2.5mm et 0.5mm},line join=round] (3.1,0.75) -- (7.5,0.75) ;
\draw[line width=0.75mm,teal,ondulation={2.5mm et 0.5mm},line join=round] (3.25,0.5) -- (7.5,0.5) ;
\draw[line width=0.75mm,teal,ondulation={2.5mm et 0.5mm},line join=round] (3.35,0.25) -- (7.5,0.25) ;
%colline
\draw[line width=1.125mm,ondulation,line join=round] plot[smooth] coordinates{(0,2.75)(1.25,3.5)(3.5,0)} ;
%montgolfière
\begin{scope}[shift={(1.05,3.6)}]
\draw[ultra thick,densely dashed] (0,0.25) -- (6,0.25) ;
\draw[ultra thick,<-,>=latex] (5,0.25) --++ (0,-3.25) node[midway,left] {$f(t)$} ;
\draw[darkgray,very thick] (-0.25,0.45) --++ (-0.25,0.5) ;
\draw[darkgray,very thick] (0.25,0.45) --++ (0.25,0.5) ;
\draw[very thick,red!50!black,top color=red,bottom color=red!25,shade] (0,1.65) circle[radius=0.9] ;
\draw[brown!50!black,ultra thick,fill=brown] (-0.25,0) rectangle++(0.5,0.5) ;
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{wrapstuff}
Une montgolfière décolle d'un village de montagne.
L'évolution de l'altitude de cette montgolfière en fonction du temps peut être modélisée par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;5]$ par
\[
f(t) = \frac{4t+1}{\e^t},
\]
où $f(t)$ désigne l'altitude, en kilomètres, par rapport au niveau de la mer, et $t$ désigne le temps, en heures, écoulé depuis le décollage.
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'altitude de la montgolfière au moment du décollage.
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0;5]$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. Montrer que, pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0;5]$, on a
\[
f'(t) = \frac{3-4t}{\e^t}.
\]
\item Étudier le signe de $f'(t)$ sur l'intervalle $[0;5]$.
En déduire que la fonction $f$ admet un maximum pour $t = \dfrac{3}{4}$.
\item On sait que la montgolfière a décollé à $10$h$50$.
À quelle heure commence-t-elle à perdre de l'altitude ?
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}
\end{document}