% !TeX TXS-program:compile = txs:///pdflatex
\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
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\newcommand{\session}{2026}
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\newcommand{\serie}{Spécialité}
\newcommand{\lieu}{Polynésie}
\newcommand{\jour}{4}
\newcommand{\mois}{septembre}
\newcommand{\numsujet}{3}
\newcommand{\codesujet}{26-MATSPEGEPO3}
\newcommand{\nomfichier}{[BAC, épreuve anticipée de mathématiques] \lieu{} (\mois{} \annee)}
\def\listenumexos{1,2,3}
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\def\repartpts{6,14,4,5,5}\readlist*\nbptsexo{\repartpts}
\def\repartthemes{%
{Probabilités / Arbre pondéré},
{Fonctions / Exponentielle},
{Suites}
}\readlist*\themessexo{\repartthemes}
\title{\nomfichier}
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\setenumerate[2]{font=\bfseries,label=\alph*.}
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%transcription principale faite par claude.ai
\lhead{\scriptsize\sffamily Épreuve anticipée de mathématiques \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \hyperlink{sommaire}{\lieu{} \serie{} - Sujet \numsujet}}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
\lfoot{\scriptsize\sffamily \affloetalab[Legende,TexteLegende={Licence Etalab 2.0}]}
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\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
\newcommand\suiten[1][u]{\left(#1_n\right)}
\newcommand\vect[1]{\vv{#1}}
\NewDocumentCommand\eamreponsesautom{ O{2} D<>{0.975\linewidth} m m m m }{%
\ExamReponsesQCM%
[Filets,NbCols=#1,PoliceLabels={\bfseries},Labels={a.},Largeur=#2,Swap]%
{{#3},{#4},{#5},{#6}}%
<rowsep=4pt,colsep=8pt>
}
\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
\newlength\tmpemojipen
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exoautomat}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Première partie : Automatismes (\nbptsexo[1] points)}\\\\
\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exos}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Deuxième partie (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[2]} points)}\\\\
\foreach \i in {1,...,#1}{%
\xdef\j{\inteval{\i+2}}%
\hspace*{5mm}\textcolor{green!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[X,X]{\nbptsexo[\j]} points)}\\%
\hspace*{12mm}\textcolor{purple}{\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
}%
\end{tcolorbox}%
\vspace*{0.25cm}
\settowidth\tmpemojipen{\hbox{\twemoji[height=1cm]{memo}}}%
\begin{tcolorbox}[enhanced,width=0.875\linewidth,colframe=red!50!black,colback=red!1,flush right,fontupper=\footnotesize\cabin,left=1.25\tmpemojipen,underlay={\draw ([xshift=0.75\tmpemojipen]frame.west) node[] {\twemoji[height=1cm]{memo}} ;}]
La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. \\
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
\end{tcolorbox}%
\vspace*{0.75cm}
\hfill\pictostamp[radius=2cm,maincolor=violet!50!black]{\codesujet}\hfill\null
}
\NewDocumentEnvironment{AutomatQuestEAM}{ m }%
{%
\tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill,breakable]
\textbf{\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Question #1}}
\smallskip
}%
{%
\endtcolorbox%
}
\NewDocumentEnvironment{ExerciceEAM}{ m }%
{%
\hypertarget{exon#1}{}%
\tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill,breakable]
\textbf{\large\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Exercice #1}~(\nbptsexo[\numexpr#1+2\relax] points)}
\medskip
}%
{%
\endtcolorbox%
}
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=4cm]{poly}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}
\part*{EAM \og \serie{} \fg, \lieu, \mois{} \annee}
\vspace{0.25cm}
\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=violet!50!black,colback=violet!1,fontupper=\cabin]
Voie générale : candidats suivant l'enseignement de spécialité de mathématiques.
\medskip
Durée : 2 heures. L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.
\end{tcolorbox}
\vspace{0.25cm}
\sujetbaclabelexos{3}
\pagebreak
%===============================================================
\hypertarget{exoautomat}{}\section*{PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES -- QCM (\nbptsexo[1] points)}
%===============================================================
\smallskip
\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reporter son numéro sur votre copie et indiquer votre réponse.}
\medskip
Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.
\medskip
\begin{AutomatQuestEAM}{1}
On note $S$ l'ensemble des solutions dans $\mathbb{R}$ de l'équation : $(2x-6)(x+4) = 0$. On a :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$S = \{4;6\}$}{$S = \{-4;6\}$}{$S = \{3;4\}$}{$S = \{-4;3\}$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{2}
On lance un dé cubique équilibré numéroté de $1$ à $6$. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre strictement supérieur à $4$ ?
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$\dfrac{1}{2}$}{$\dfrac{1}{3}$}{$\dfrac{1}{4}$}{$\dfrac{1}{5}$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{3}
La seule égalité vraie est :
\smallskip
\eamreponsesautom[2]{$3^{-5} \times 6^{-5} = 18^{-10}$}{$\left(3^{-5}\right)^2 = 3^{-3}$}{$\dfrac{3^3}{3^5} = 3^{-4}$}{$\left(3^{-2}\right)^3 = 3^{-6}$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{4}
On a représenté ci-dessous quatre droites dans un repère orthonormé.
\begin{Centrage}
\begin{GraphiqueTikz}[x=0.7cm,y=0.7cm,Xmin=-8,Xmax=8,Xgrilles=1,Ymin=-4,Ymax=7,Ygrilles=1]
\TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\footnotesize,Elargir=2.5mm]{-8,-7,...,8}{-4,-3,...,7}
\TracerCourbe[Couleur=blue]{x+1}%D4
\TracerCourbe[Couleur=red]{-x}%D2
\TracerCourbe[Couleur=olive]{3}%D3
\TracerAsymptote[Couleur=teal]{3}%D1
\node[font=\large,teal] at (2.5,6) {$D_1$} ;
\node[font=\large,red,above right] at (-6,6) {$D_2$} ;
\node[font=\large,olive,above right] at (-8,3) {$D_3$} ;
\node[font=\large,blue] at (-5,-3) {$D_4$} ;
\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}
Parmi les quatre affirmations suivantes, laquelle est vraie ?
\smallskip
\eamreponsesautom[1]{La droite $D_1$ a pour équation $y=3$}{La droite $D_2$ a pour coefficient directeur $1$}{La droite $D_3$ a pour coefficient directeur $3$}{La droite $D_4$ a pour équation $y=x+1$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{5}
Soit $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$.
Parmi les quatre points suivants, lequel appartient à $\mathcal{C}_f$ ?
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$E(-1;2)$}{$H(-3;28)$}{$G(2;1)$}{$K(3;4)$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{6}
On considère le nombre $E = \left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\right) \times \dfrac{2}{5}$. Une écriture simplifiée de $E$ est :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$\dfrac{4}{25}$}{$\dfrac{1}{3}$}{$\dfrac{2}{30}$}{$\dfrac{4}{5}$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{7}
Le prix d'un pantalon a augmenté de $10\,\%$ puis a baissé de $20\,\%$.
Quelle évolution globale a subi le prix du pantalon ?
\smallskip
\eamreponsesautom[2]{une baisse de $15\,\%$}{une augmentation de $8{,}8\,\%$}{une baisse de $12\,\%$}{une baisse de $10\,\%$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{8}
L'accélération gravitationnelle $g$ (en m/s$^2$) d'un astre est donnée par la formule \[g = \dfrac{Gm}{r^2}\] où $G$ est la constante gravitationnelle universelle (en N.m$^2$/kg$^2$), $m$ est la masse de l'astre (en kg) et $r$ le rayon de l'astre (en m).
L'expression permettant, à partir de cette formule, d'exprimer le rayon $r$ est :
\smallskip
\eamreponsesautom[2]{$r = \dfrac{Gm}{g^2}$}{$r = \sqrt{Gmg}$}{$r = \sqrt{\dfrac{Gm}{g}}$}{$r = \sqrt{\dfrac{g}{Gm}}$}
\end{AutomatQuestEAM}
\pagebreak
%===============================================================
\hypertarget{exos}{}\section*{DEUXIÈME PARTIE (\nbptsexo[2] points)}
%===============================================================
\begin{ExerciceEAM}{1}
Un joueur participe à un jeu. Il dispose d'une pièce de monnaie équilibrée et de deux urnes A et B qui contiennent chacune des jetons dorés et des jetons argentés.
Il doit commencer par lancer la pièce de monnaie.
\begin{itemize}
\item S'il obtient le côté pile, il pioche un jeton dans l'urne A. Il a alors $60\,\%$ de chances de tirer un jeton doré.
\item S'il obtient le côté face, il pioche un jeton dans l'urne B. Il a alors $80\,\%$ de chances de tirer un jeton argenté.
\end{itemize}
On considère l'expérience aléatoire qui consiste à lancer la pièce de monnaie puis à tirer un jeton dans une des deux urnes.
On considère les évènements suivants :
\begin{itemize}
\item $A$ : le joueur pioche dans l'urne A ;
\item $B$ : le joueur pioche dans l'urne B ;
\item $D$ : le jeton obtenu est doré ;
\item $\overline{D}$ : le jeton obtenu est argenté.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
\item Calculer $P(A \cap D)$, puis interpréter le résultat obtenu.
\item Montrer que $P(D) = 0{,}4$.
\item Le joueur a obtenu un jeton doré.
Quelle est la probabilité qu'il l'ait pioché dans l'urne B ?
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}
\pagebreak
\begin{ExerciceEAM}{2}
On injecte à un patient un médicament. Après l'injection, on mesure la concentration de ce médicament dans le sang, en grammes par litre (g/L), pendant $13$ heures.
Cette concentration est modélisée par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;13]$ par :
\[
f(t) = (t^2+t+1)\e^{-t}
\]
où $t$ représente le nombre d'heures écoulées depuis l'injection.
\begin{enumerate}
\item Déterminer $f(0)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item
\begin{enumerate}
\item Justifier que pour tout réel $t$ dans $[0;13]$, on a : $f'(t) = t(-t+1)\e^{-t}$.
\item Étudier le signe de $t(-t+1)$ sur $[0;13]$.
\item En déduire le tableau de variations de $f$ sur $[0;13]$.
\textit{Il n'est pas demandé de calculer les images.}
\end{enumerate}
\item On estime que le médicament n'est plus actif lorsque sa concentration est strictement inférieure à $0{,}1$~g/L. Il convient alors de faire une nouvelle injection du médicament.
En utilisant le tableau de valeurs approchées ci-dessous, déterminer le nombre d'heures maximal $t_0$ ($t_0$ est un entier naturel) pendant lequel le médicament reste actif.
\medskip
\hfill%
\begin{tblr}{hlines,vlines,width=\linewidth,colspec={Q[m,c]*{11}{X[m,c]}},cells={font=\small},column{1}={bg=lightgray!50}}
$t$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ & $11$ & $12$ & $13$ \\
$f(t)$ & $0{,}647$ & $0{,}385$ & $0{,}209$ & $0{,}107$ & $0{,}052$ & $0{,}025$ & $0{,}011$ & $0{,}005$ & $0{,}002$ & $0{,}001$ & $0$ \\
\end{tblr}%
\hfill\null
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}
\pagebreak
\begin{ExerciceEAM}{3}
Les activités d'une association sont financées grâce à des donateurs.
On réalise une estimation du nombre de donateurs de la manière suivante. Chaque année,
\begin{itemize}
\item $80\,\%$ des donateurs de l'année précédente renouvellent leur don ;
\item $300$ nouveaux donateurs effectuent un don.
\end{itemize}
En 2025, l'association comptait $1\,000$ donateurs.
Pour tout entier naturel $n$, on modélise par $u_n$ le nombre de donateurs pour l'année $2025+n$.
Ainsi, on a $u_0 = 1\,000$.
\medskip
\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre de donateurs prévu en 2026.
\item Justifier que pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 300$.
\end{enumerate}
\item On donne $u_5 \approx 1336$. Que représente cette valeur dans le contexte de l'exercice ?
\item On considère la suite d'instructions \textsf{Python} ci-dessous :
\begin{Centrage}
\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=7cm]{center}
u = 1000
i = 0
while u <= 1400 :
u = 0.8*u + 300
i = i + 1
\end{CodePythonLstAlt}
\end{Centrage}
À la fin de l'exécution de ce script, la variable \texttt{i} contient la valeur $8$.
Comment peut-on l'interpréter dans le cadre de l'exercice ?
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie B}
\medskip
\begin{wrapstuff}[r,rightsep=5mm]
\begin{PostIt}[Rendu=tikzv2,Largeur=3.5cm,Attache=Non,Inclinaison=5]
\textbf{\underline{Aide au calculs}} :
\smallskip
{\small ~~$\frac{1200}{0{,}8} = 1500$}
{\small ~~$0{,}8 \times 1500 = 1200$}
\end{PostIt}%
\end{wrapstuff}
On considère la suite $\suiten[v]$ définie sur $\mathbb{N}$ par $v_n = u_n - 1500$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $\suiten[v]$ est une suite géométrique.
Préciser sa raison et son premier terme.
\item
\begin{enumerate}
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire, pour tout entier naturel $n$, que : $u_n = 1500 - 500 \times 0{,}8^n$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}
\end{document}