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\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
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{Données chiffrées / Probabilités / Suites}
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\title{\nomfichier}
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%transcription principale faite par mistral.ai
\lhead{\scriptsize\sffamily Épreuve anticipée de mathématiques \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \hyperlink{sommaire}{\lieu{} \serie{} - Sujet \numsujet}}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
\lfoot{\scriptsize\sffamily \affloetalab[Legende,TexteLegende={Licence Etalab 2.0}]}
\cfoot{\scriptsize\sffamily 26-MATEATECHUN}
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%divers
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\newcommand\Rij{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath}\right)}
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\begin{tblr}{width=#1\linewidth,colspec={X[m,l]}}
\textbf{a)}~~#2 \\
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#6 & #7 & #8 & #9 \\
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\begin{GraphiqueTikz}[x=0.8cm,y=0.8cm,Xmin=#1,Xmax=#2,Ymin=#3,Ymax=#4]
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\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exoautomat}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Première partie : Automatismes (\nbptsexo[1] points)}\\\\
%
\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exos}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Deuxième partie (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[2]} points)}\\\\
\foreach \i in {1,...,#1}{%
\xdef\j{\inteval{\i+2}}%
\hspace*{5mm}\textcolor{green!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[X,X]{\nbptsexo[\j]} points)}\\%
\hspace*{12mm}\textcolor{purple}{\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
}%
\end{tcolorbox}%
}
\NewDocumentEnvironment{AutomatQuestEAM}{ m }%
{%
\tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill]
\textbf{\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Question #1}}
\smallskip
}%
{%
\endtcolorbox%
}
\NewDocumentEnvironment{ExerciceEAM}{ m }%
{%
\hypertarget{exon#1}{}%
\tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill]
\textbf{\large\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Exercice #1}~(\nbptsexo[\numexpr#1+2\relax] points)}
\medskip
}%
{%
\endtcolorbox%
}
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\hfill\twemoji[height=5cm]{bullseye}\hfill\null
\part*{Épreuve anticipée de mathématiques\\\og \serie{} \fg,\\\mois{} \annee, sujet \numsujet}
\vspace{1cm}
\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=violet!50!black,colback=violet!1,fontupper=\cabin]
Voie Technologique.
\medskip
Durée : 2 heures. L’usage de la calculatrice n’est pas autorisé.
\end{tcolorbox}
\vspace{1cm}
\sujetbaclabelexos{3}
\pagebreak
\hypertarget{exoautomat}{}\section*{PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES -- QCM (\nbptsexo[1] points)} %exoautomaqcm
\smallskip
\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.}
\medskip
\begin{AutomatQuestEAM}{1}
Un article coûte 400 euros. Le prix augmente de $20\,\%$. Le nouveau prix est :
\smallskip
\qcm{420 euros}{480 euros}{500 euros}{320 euros}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{2}
Un sac coûte 130 euros. Le prix baisse de $10\,\%$. Le nouveau prix est :
\smallskip
\qcm{$130 \times 0,1$}{$130 \times \left(-\frac{10}{100}\right)$}{$130 \times \left(1+\frac{10}{100}\right)$}{$130 \times 0,9$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{3}
Le prix d'un article est noté $P$. Il connaît deux augmentations de $20\,\%$.
Le prix après ces augmentations est :
\smallskip
\qcm{$P \times \left(1+\left(\frac{20}{100}\right)^{2}\right)$}{$P \times 1,40$}{$\frac{P}{1,44}$}{$P \times 1,2^{2}$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{4}
Lors d'une élection, le quart des électeurs a voté pour A, $20\,\%$ a voté pour B, un tiers a voté pour C, et le reste a voté pour D.
Le candidat ayant recueilli le \underline{moins} de votes est :
\smallskip
\qcm{A}{B}{C}{D}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{5}
On considère $A=\dfrac{2}{1-\frac{2}{3}}$. On a :
\smallskip
\qcm{$A=-1$}{$A=\frac{2}{3}$}{$A=6$}{$A=9$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{6}
On considère $A=\dfrac{1}{100}+\dfrac{1}{1000}$. On a :
\smallskip
\qcm{$A=100,001$}{$A=\frac{2}{100000}$}{$A=0,11$}{$A=0,011$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{7}
Une durée de 75 minutes correspond à :
\smallskip
\qcm{1,15 heure}{1,25 heure}{0,75 heure}{1,4 heure}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{8}
$10^{30}+10^{-30}$ est environ égal à :
\smallskip
\qcm{$10^{0}$}{0}{$10^{30}$}{$20^{30}$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{9}
La seule droite pouvant correspondre à l'équation $y=-2x+5$ est :
\smallskip
\qcmgraph%
{la droite $D_{1}$}{la droite $D_{2}$}{la droite $D_{3}$}{la droite $D_{4}$}%
{\repqcmgraphdroite{-2}{2.5}{-1}{2.5}{0.75*x-0.5}}%
{\repqcmgraphdroite{-2}{2.5}{-1}{2.5}{0.75*x+0.5}}%
{\repqcmgraphdroite{-2}{2.5}{-1}{2.5}{-x+1}}%
{\repqcmgraphdroite{-2.5}{2}{-1.5}{2}{-0.8*x-0.75}}%
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{10}
La solution de l'équation $3x=0$ est :
\smallskip
\qcm{$x=-3$}{$x=\frac{1}{3}$}{$x=-\frac{1}{3}$}{$x=0$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{11}
La solution de l'équation $\dfrac{144}{x}=9$ est :
\smallskip
\qcm{$x=144 \times 9$}{$x=\frac{9}{144}$}{$x=\frac{144}{9}$}{$x=-16$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{12}
Voici les notes sur vingt obtenues par un élève en mathématiques :
\begin{Centrage}
\begin{tblr}{width=10cm,colspec={Q[m,c]*{4}{X[m,c]}},hlines,vlines}
Note & 10 & 13 & 12 & $x$ \\
Coefficient & 1 & 1 & 1 & 2 \\
\end{tblr}
\end{Centrage}
On cherche ce que doit valoir $x$ pour que la moyenne de l'élève soit égale à 15.
\smallskip
\qcmdeux{$x=20$}{$x=18$}{$x=15$}{Impossible : il faudrait une note strictement supérieure à vingt.}
\end{AutomatQuestEAM}
\pagebreak
\hypertarget{exos}{}\section*{DEUXIÈME PARTIE (\nbptsexo[2] points)} %exos
\begin{ExerciceEAM}{1}
Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est VRAIE ou FAUSSE en justifiant la réponse.
\begin{enumerate}
\item On considère une suite arithmétique $\left(u_{n}\right)$ de raison $r=\frac{1}{2}$. On sait que $u_{50}=\num{1000}$.
\smallskip
\underline{Affirmation 1} : $u_{60}=\num{1005}$.
\item On considère une suite géométrique $\left(u_{n}\right)$ de raison $q$ positive. On sait que $u_{100}=5$ et que ${u_{102}=20}$.
\smallskip
\underline{Affirmation 2} : $u_{99}=2,5$.
\item \underline{Affirmation 3} : Il est possible de trouver au moins un réel $x$ tel que $x+x=x^{2}$.
\item On lance deux pièces équilibrées. On gagne si les deux pièces tombent du même côté, c'est-à-dire si elles tombent toutes les deux sur PILE ou si elles tombent toutes les deux sur FACE.
\smallskip
\underline{Affirmation 4} : On a une chance sur quatre de gagner.
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}
\bigskip
\begin{ExerciceEAM}{2}
On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=-x^{2}+6x-5$.
\begin{enumerate}
\item Calculer l'image de 0 et de 3 par la fonction $f$.
\item Montrer que, pour tout réel $x$, on a : $(x-1)(5-x)=-x^{2}+6x-5$.
\item En déduire les antécédents de 0 par la fonction $f$.
\item Montrer que pour tout réel $x$, on a : $4-(x-3)^{2}=-x^{2}+6x-5$.
\item Est-il possible de trouver un réel $x$, tel que $f(x)>4$ ? Justifier.
\item Réaliser un schéma donnant l'allure de la courbe de la fonction $f$ sur lequel apparaîtront les résultats des questions \textbf{1.}, \textbf{3.} et \textbf{5.}
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}
\bigskip
\begin{ExerciceEAM}{3}
Un club d'escalade propose à ses 100 adhérents deux séances par semaine : lundi, jeudi. À chacune des séances, chaque adhérent est libre de venir ou pas.
\smallskip
Le tableau ci-dessous récapitule les choix des adhérents une semaine donnée.
\begin{Centrage}
\begin{tblr}{width=11cm,colspec={*{4}{X[m,c]}},vline{1}={2-Z}{solid},vline{2-Z}={solid},hline{1}={2-Z}{solid},hline{2-Z}={solid},rows={3em}}
& Présent le JEUDI & Absent le JEUDI & Total \\
Présent le LUNDI & \entourevaleur{45} & $x$ & 75 \\
Absent le LUNDI & 20 & 5 & 25 \\
Total & 65 & 35 & 100 \\
\end{tblr}
\end{Centrage}
\begin{enumerate}
\item Décrire par une phrase ce que représente le nombre $x$ et déterminer sa valeur.
\item On choisit un adhérent au hasard.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'un adhérent qui n'est venu ni le lundi ni le jeudi ?
\item Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'un adhérent qui n'est venu qu'un seul jour ?
\item On sait à présent que l'adhérent choisi est venu le lundi. Quelle est la probabilité qu'il soit également venu le jeudi ?
\end{enumerate}
\item Chacun des adhérents verse au club une cotisation annuelle de 100 euros.
\begin{enumerate}
\item En 2026, le club compte 100 adhérents. Quel est le montant total des cotisations versées au club en 2026 ?
\item On suppose que, de 2026 (inclus) à 2041 (inclus) le montant de la cotisation reste stable, mais que le nombre d'adhérents augmente régulièrement de 5 unités chaque année. Ainsi, en 2026, il y a 100 adhérents, en 2027, il y a 105 adhérents, en 2028, il y a 110 adhérents, en 2029, il y a 115 adhérents, etc.
\smallskip
Quel sera le montant total des cotisations versées au club entre 2026 et 2041 ?
\textit{\underline{Indication} : on pourra utiliser la formule ci-dessous :} \[ a+(a+r)+(a+2r)+(a+3r)+\ldots+(a+nr)=\frac{2a+nr}{2}(n+1). \]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}
\end{document}