% !TeX TXS-program:compile = txs:///pdflatex
\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
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\newcommand{\nomfichier}{[BAC, épreuve anticipée de mathématiques] \lieu{} (\mois{} \annee)}
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\def\repartpts{6,14,3,5,6}\readlist*\nbptsexo{\repartpts}
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{Probabilités},
{Suites},
{Fonctions / Bénéfice}
}\readlist*\themessexo{\repartthemes}
\title{\nomfichier}
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\setenumerate[2]{font=\bfseries,label=\alph*.}
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%transcription principale faite par claude.ai
\lhead{\scriptsize\sffamily Épreuve anticipée de mathématiques \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \hyperlink{sommaire}{\lieu{} \serie{} - Sujet \numsujet}}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
\lfoot{\scriptsize\sffamily \affloetalab[Legende,TexteLegende={Licence Etalab 2.0}]}
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\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
\newcommand\Rij{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath}\right)}
\newcommand\suiten[1][u]{\left(#1_n\right)}
\newcommand\vect[1]{\vv{#1}}
\NewDocumentCommand\eamreponsesautom{ O{2} D<>{0.975\linewidth} m m m m }{%
\ExamReponsesQCM%
[Filets,NbCols=#1,PoliceLabels={\bfseries},Labels={a.},Largeur=#2,Swap]%
{{#3},{#4},{#5},{#6}}%
<rowsep=4pt,colsep=8pt>
}
\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
\newlength\tmpemojipen
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exoautomat}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Première partie : Automatismes (\nbptsexo[1] points)}\\\\
\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exos}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Deuxième partie (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[2]} points)}\\\\
\foreach \i in {1,...,#1}{%
\xdef\j{\inteval{\i+2}}%
\hspace*{5mm}\textcolor{green!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[X,X]{\nbptsexo[\j]} points)}\\%
\hspace*{12mm}\textcolor{purple}{\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
}%
\end{tcolorbox}%
\vspace*{0.25cm}
\settowidth\tmpemojipen{\hbox{\twemoji[height=1cm]{memo}}}%
\begin{tcolorbox}[enhanced,width=0.875\linewidth,colframe=red!50!black,colback=red!1,flush right,fontupper=\footnotesize\cabin,left=1.25\tmpemojipen,underlay={\draw ([xshift=0.75\tmpemojipen]frame.west) node[] {\twemoji[height=1cm]{memo}} ;}]
La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. \\
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
\end{tcolorbox}%
\vspace*{0.75cm}
\hfill\pictostamp[radius=2cm,maincolor=violet!50!black]{\codesujet}\hfill\null
}
\NewDocumentEnvironment{AutomatQuestEAM}{ m }%
{%
\tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill,breakable]
\textbf{\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Question #1}}
\smallskip
}%
{%
\endtcolorbox%
}
\NewDocumentEnvironment{ExerciceEAM}{ m }%
{%
\hypertarget{exon#1}{}%
\tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill,breakable]
\textbf{\large\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Exercice #1}~(\nbptsexo[\numexpr#1+2\relax] points)}
\medskip
}%
{%
\endtcolorbox%
}
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=4cm]{fr.v1}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}
\part*{EAM \og \serie{} \fg, \lieu, \mois{} \annee}
\vspace{0.25cm}
\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=violet!50!black,colback=violet!1,fontupper=\cabin]
Toutes séries technologiques.
\medskip
Durée : 2 heures. L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.
\end{tcolorbox}
\vspace{0.25cm}
\sujetbaclabelexos{3}
\pagebreak
%===============================================================
\hypertarget{exoautomat}{}\section*{PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES -- QCM (\nbptsexo[1] points)}
%===============================================================
\smallskip
\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reporter son numéro sur la copie et indiquer la réponse.}
\medskip
Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.
\medskip
\begin{AutomatQuestEAM}{1}
On considère l'expression $A(x) = 2x - 3x$, alors $A(x)$ est égale à :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$-6x^2$}{$-x^2$}{$x$}{$-x$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{2}
On considère l'équation $x + 5 = 2x + 6$ sur l'ensemble des réels. Cette équation admet pour solution :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$x = 1$}{$x = -1$}{$x = \dfrac{1}{3}$}{$x = -\dfrac{1}{3}$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{3}
On considère l'équation $x^2 = 6$ sur l'ensemble des réels. Cette équation admet :
\smallskip
\eamreponsesautom[2]%
{une seule solution : $\sqrt{6}$}%
{une seule solution : $36$}%
{une seule solution : $3$}%
{deux solutions : $-\sqrt{6}$ et $\sqrt{6}$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{4}
Un article qui coûte $200$~€ diminue de $30\,\%$. Après diminution, il coûte :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$60$~€}{$140$~€}{$170$~€}{$260$~€}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{5}
On considère l'expression $B = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}$. On a :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$B = \dfrac{1}{7}$}{$B = \dfrac{2}{7}$}{$B = \dfrac{7}{12}$}{$B = \dfrac{7}{24}$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{6}
Un robot parcourt $5$~m en $20{,}3$~s. À cette même allure, en $1$~min, il parcourt environ :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$15$~m}{$60$~m}{$100$~m}{$240$~m}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{7}
$10^3 \times 2^3 = $
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$206$}{$203$}{$60$}{$209$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{8}
La fréquence cardiaque maximale conseillée $f$ dépend de l'âge $a$. Son expression est $f = 208 - 0{,}7a$. On a alors :
\smallskip
\eamreponsesautom[2]{$a = \dfrac{f}{207{,}3}$}{$a = f - 207{,}3$}{$a = \dfrac{f}{0{,}7} - 208$}{$a = \dfrac{208-f}{0{,}7}$}
\end{AutomatQuestEAM}
\pagebreak
%===============================================================
\hypertarget{exos}{}\section*{DEUXIÈME PARTIE (\nbptsexo[2] points)}
%===============================================================
\begin{ExerciceEAM}{1}
Dans une clinique d'analyses médicales, on a interrogé les $150$ salariés sur leurs conditions de travail. Les résultats ont été rassemblés dans le tableau ci-dessous.
\medskip
\hfill%
\begin{tblr}{vline{1}={2-Z}{solid},vline{2-Z}={solid},hline{1}={2-Z}{solid},hline{2-Z}={solid},width=0.8\linewidth,colspec={Q[m,l]X[m,c]X[m,c]X[m,c]},cells={font=\small}}
& Employé de bureau & Employé de laboratoire & Total des salariés \\
Satisfait & $40$ & $68$ & $108$ \\
Mécontent & $2$ & & $4$ \\
Indifférent & & & $8$ \\
Total & $50$ & $100$ & $150$ \\
\end{tblr}%
\hfill\null
\medskip
\begin{enumerate}
\item Vérifier que la proportion des salariés satisfaits de leurs conditions de travail parmi les employés de bureau est de $80\,\%$.
\item Dans cette clinique, combien de salariés sont indifférents à leurs conditions de travail ?
\item Indiquer si l'affirmation suivante est vraie ou fausse.
\textit{Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}
\og Dans cette clinique, les employés de bureau sont, en proportion, davantage satisfaits de leurs conditions de travail que ceux du laboratoire \fg.
\item On choisit au hasard un salarié mécontent parmi les salariés de la clinique. Quelle est la probabilité que celui-ci soit un employé de bureau ? Écrire le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}
\pagebreak
\begin{ExerciceEAM}{2}
En 2026, Monsieur Egg possède un élevage de $800$ poules nourries au blé.
\begin{enumerate}
\item Au regard des années précédentes, on estime que le nombre de poules élevées par Monsieur Egg augmente de $2\,\%$ par an. On modélise cette augmentation par la suite $\suiten[u]$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre de poules élevées l'année $2026 + n$ suivant ce modèle.
On a $u_0 = 800$.
\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre de poules qu'aura Monsieur Egg en 2027.
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$, pour tout entier naturel $n$.
\item Déterminer la nature de la suite $\suiten[u]$ et préciser sa raison.
\end{enumerate}
\item En 2026, Monsieur Egg peut nourrir au maximum $900$ poules.
En améliorant la qualité de ses cultures, il estime qu'il peut nourrir au maximum $10$ poules de plus chaque année.
Pour tout entier naturel $n$, on note $v_n$ le nombre maximum de poules que peut nourrir Monsieur Egg en $2026 + n$ suivant ce modèle. On a $v_0 = 900$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $v_1$ et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.
\item Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$, pour tout entier naturel $n$.
\item Déterminer la nature de la suite $\suiten[v]$, et préciser sa raison.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
On donne, dans le tableau ci-dessous, les valeurs des premiers termes de chacune des suites $\suiten[u]$ et $\suiten[v]$. Les valeurs obtenues sont arrondies à l'unité.
\medskip
\begin{Centrage}
\begin{tblr}{width=5.5cm,hlines,vlines,colspec={Q[m,c]X[m,c]X[m,c]},row{1}={font=\bfseries}}
Indice $\bm{n}$ & $\bm{u_n}$ & $\bm{v_n}$ \\
0 & 800 & 900 \\
1 & 816 & 910 \\
2 & 832 & 920 \\
\dots & \dots & \dots \\
8 & 937 & 980 \\
9 & 956 & 990 \\
10 & 975 & 1000 \\
11 & 995 & 1010 \\
12 & 1015 & 1020 \\
13 & 1035 & 1030 \\
14 & 1056 & 1040 \\
15 & 1077 & 1050 \\
\end{tblr}
\end{Centrage}
\begin{enumerate}[resume]
\item D'après les valeurs obtenues dans le tableau ci-dessus, à partir de quelle année Monsieur Egg ne pourra-t-il plus nourrir toutes ses poules ?
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}
\pagebreak
\begin{ExerciceEAM}{3}
Une entreprise produit et vend chaque mois jusqu'à $40\,000$ enceintes.
Ses coûts de production, en milliers d'euros, pour $x$ milliers d'enceintes produites et vendues sont modélisés par la fonction $C$ définie sur l'intervalle $[0;40]$ par :
\[
C(x) = 2x^2 + 4x + 530.
\]
L'entreprise fixe le prix de vente d'une enceinte à $96$~€.
L'entreprise étudie, à l'aide d'une feuille de calcul, le bénéfice qu'elle peut réaliser en fonction du nombre d'enceintes produites et vendues :
\medskip
\begin{Centrage}
\storewidthtolength[4mm]{\small\bfseries Nombre d'enceintes}{\pastableurcolA}%
\storewidthtolength[4mm]{\small\bfseries Coûts de production}{\pastableurcolB}%
\storewidthtolength[4mm]{\small\bfseries (en milliers d'euros)}{\pastableurcolC}%
\begin{tikzpicture}
\gentableur[10]%
{A/\pastableurcolA,B/\pastableurcolB,C/\pastableurcolB,D/\pastableurcolB}%
[3em,1.85em,1.85em,1.85em,1.85em,1.85em,1.85em,1.85em,1.85em,1.85em]
\celtxt[align=center,font={\small\bfseries},width=\pastableurcolA]{A}{1}{Nombre d'enceintes\\(en milliers)}
\celtxt[align=center,font={\small\bfseries},width=\pastableurcolB]{B}{1}{Coûts de production\\(en milliers d'euros)}
\celtxt[align=center,font={\small\bfseries},width=\pastableurcolB]{C}{1}{Recette\\(en milliers d'euros)}
\celtxt[align=center,font={\small\bfseries},width=\pastableurcolB]{D}{1}{Bénéfice\\(en milliers d'euros)}
\colonnetxt*[align=center]{A}<2>{$0$,$5$,$10$,$15$,$20$,$25$,$30$,$35$,$40$}
\colonnetxt*[align=center]{B}<2>{$530$,$600$,$770$,$1040$,$1410$,$1880$,$2450$,$3120$,$3890$}
\colonnetxt*[align=center]{C}<2>{$0$,$480$,$960$,$1440$,$1920$,$2400$,$2880$,$3360$,$3840$}
\colonnetxt*[align=center]{D}<2>{$-530$,$-120$,$190$,$400$,$510$,$520$,$430$,$240$,$-50$}
\end{tikzpicture}
\end{Centrage}
\begin{enumerate}
\item Écrire, sans l'effectuer, un calcul permettant d'obtenir les valeurs $960$ et $190$ de la ligne $4$ du tableau.
\item Sans effectuer de calcul et en utilisant les résultats fournis par la feuille de calcul ci-dessus, répondre aux deux questions suivantes :
\begin{enumerate}
\item Quels sont les coûts de production de $30\,000$ enceintes ?
\item Justifier qu'en vendant $5\,000$ enceintes, l'entreprise n'est pas bénéficiaire.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
Le bénéfice réalisé (en milliers d'euros) pour $x$ milliers d'enceintes produites et vendues est modélisé par la fonction $B$ définie, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0;40]$, par $B(x) = -2x^2 + 92x - 530$.
\begin{enumerate}[resume]
\item On note $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$. Calculer $B'(x)$.
\item Justifier que $B'$ est positive ou nulle sur $[0;23]$ et négative ou nulle sur $[23;40]$.
\item
\begin{enumerate}
\item Déduire de la question précédente le tableau de variations de la fonction $B$ sur l'intervalle $[0;40]$.
\item On admet que le bénéfice maximal vaut $528$ milliers d'euros. Indiquer cette valeur dans le tableau de variations.
\end{enumerate}
\item Pour quel nombre d'enceintes produites et vendues le bénéfice est-il maximal ?
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}
\end{document}