% bac2021gen-all-mars-sujet1-exo5.tex
On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ par : $$f(x)=x+4-4\ln(x)-\dfrac{3}{x}$$ où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

On note $\mathcal{C}$ la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormé.

\begin{enumerate}
	\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
	\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\intervOO{0}{+\infty}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
	
	Démontrer que, pour tout nombre réel $x>0$, on a : \[f'(x)=\dfrac{x^2-4x+3}{x^2}.\]
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$. On y fera figurer les valeurs exactes des extremums et les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$. On admettra que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)=-\infty$.
		\item Par simple lecture du tableau de variations, préciser le nombre de solutions de l’équation \mbox{$f(x)=\dfrac53$}.
	\end{enumerate}
	\item Étudier la convexité de la fonction $f$, c’est-à-dire préciser les parties de l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ sur lesquelles $f$ est convexe, et celles sur lesquelles $f$ est concave. On justifiera que la courbe $\mathcal{C}$ admet un unique point d’inflexion, dont on précisera les coordonnées.
\end{enumerate}