% bac2021gen-ce-juin-sujet2-exo4.tex
\textbf{Partie A :}

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Dans un pays, une maladie touche la population avec une probabilité de $0,05$. On possède un test de dépistage de cette maladie.

On considère un échantillon de $n$ personnes ($n \geqslant 20$) prises au hasard dans la population assimilé à un tirage avec remise.

On teste l’échantillon suivant cette méthode : on mélange le sang de ces $n$ individus, on teste le mélange. Si le test est positif, on effectue une analyse individuelle de chaque personne.

Soit $X_n$ la variable aléatoire qui donne le nombre d’analyses effectuées.

\begin{enumerate}
	\item Montrer $X_n$ prend les valeurs 1 et $(n+1)$.
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que $P(X_n=1)=0,95^n$.
		\item Établir la loi de $X_n$ en recopiant sur la copie et en complétant le tableau suivant :
		%
		\begin{center}
			\begin{tblr}{hlines,vlines,width=7.5cm,colspec={X[c]X[c]X[c]}}
				$x_i$ & $1$ & $n+1$ \\
				$P(X_n=x_i)$ & & \\
			\end{tblr}
		\end{center}
	\end{enumerate}
	\item Que représente l’espérance de $X_n$ dans le cadre de l’expérience ?
	
	Montrer que $\mathbb{E}\left(X_n\right) = n+1 - n \times 0,95^n$.
\end{enumerate}

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\textbf{Partie B :}

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\begin{enumerate}
	\item On considère la fonction $f$ définie sur $\intervFO{20}{+\infty}$ par $f(x)=\ln(x)+x\,\ln(0,95)$.
	
	Montrer que $f$ est décroissante sur $\intervFO{20}{+\infty}$.
	\item On rappelle que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0$. Montrer que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$.
	\item Montrer que $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\intervFO{20}{+\infty}$.
	
	Donner un encadrement à $0,1$ près de cette solution.
	\item En déduire le signe de $f$ sur $\intervFO{20}{+\infty}$.
\end{enumerate}

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\textbf{Partie C :}

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On cherche à comparer deux types de dépistages. La première méthode est décrite dans la \textbf{partie A}, la seconde, plus classique, consiste à tester tous les individus.

La première méthode permet de diminuer le nombre d’analyses dès que $\mathbb{E}\left(X_n\right) < n$.

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En utilisant la \textbf{partie B}, montrer que la première méthode diminue le nombre d’analyses pour des échantillons comportant 87 personnes maximum.

