% bac2021gen-fr-juin-sujet2-exo4.tex
\begin{center}
	\textbf{Partie I}
\end{center}

On désigne par $h$ la fonction définie sur l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ par : \[ h(x)=1+\dfrac{\ln(x)}{x^2}. \]
On admet que la fonction $h$ est dérivable sur $\intervOO{0}{+\infty}$ et on note $h'$ sa fonction dérivée.

\begin{enumerate}
	\item Déterminez les limites de $h$ en $0$ et en $+\infty$.
	\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de $\intervOO{0}{+\infty}$, $h'(x)=\dfrac{1-2\ln(x)}{x^3}$.
	\item En déduire les variations de la fonction $h$ sur l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$.
	\item Montrer que l’équation $h(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ appartenant à $\intervOO{0}{+\infty}$ et vérifier que : $\dfrac12 < \alpha < 1$.
	\item Déterminer le signe de $h(x)$ pour $x$ appartenant à $\intervOO{0}{+\infty}$.
\end{enumerate}

\begin{center}
	\textbf{Partie II}
\end{center}

On désigne par $f_1$ et $f_2$ les fonctions définies sur $\intervOO{0}{+\infty}$ par : \[ g_1(x)=x-1-\dfrac{\ln(x)}{x^2} \quad \text{ et } f_2(x)= x-2-\dfrac{2\ln(x)}{x^2}. \]
On note $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ les représentations graphiques respectives de $f_1$ et $f_2$ dans un repère $\Rij$.

\begin{enumerate}
	\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à $\intervOO{0}{+\infty}$, on a : \[ f_1(x)-f_2(x) = h(x). \]
	\item Déduire des résultats de la \textbf{Partie I} la position relative des courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$. On justifiera que leur unique point d’intersection a pour coordonnées $(\alpha;\alpha)$.
	
	On rappelle que $\alpha$ est l’unique solution de l’équation $h(x)=0$.
\end{enumerate}

