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Un test est mis au point pour détecter une maladie dans un pays.

Selon les autorités sanitaires de ce pays, 7\,\% des habitants sont infectés par cette maladie.

Parmi les individus infectés, 20\,\% sont déclarés négatifs.

Parmi les individus sains, 1\,\% sont déclarés positifs.

Une personne est choisie au hasard dans la population.

On note :

\begin{itemize}
	\item $M$ l’évènement : « la personne est infectée par la maladie » ;
	\item $T$ l’évènement : « le test est positif ».
\end{itemize}

\begin{enumerate}
	\item Construire un arbre pondéré modélisant la situation proposée.
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité pour que la personne soit infectée par la maladie et que son test soit positif ?
		\item Montrer que la probabilité que son test soit positif est de \num{0,0653}.
	\end{enumerate}
	\item On sait que le test de la personne choisie est positif.
	
	Quelle est la probabilité qu’elle soit infectée ?
	
	On donnera le résultat sous forme approchée à $10^{-2}$ près.
	\item On choisit dix personnes au hasard dans la population. La taille de la population de ce pays permet d’assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.
	
	On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre d’individus ayant un test positif parmi les dix personnes.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ? Préciser ses paramètres.
		\item Déterminer la probabilité pour qu’exactement deux personnes aient un test positif.
		
		On donnera le résultat sous forme approchée à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
	\item Déterminer le nombre minimum de personnes à tester dans ce pays pour que la probabilité qu’au moins une de ces personnes ait un test positif, soit supérieure à 99\,\%.
\end{enumerate}

