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Dans une région touristique, une société propose un service de location de vélo pour la journée.

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La société dispose de deux points de location distinctes, le point A et le point B. Les vélos peuvent être empruntés est restitués indifféremment dans l'un où l'autre des deux poins de location.

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On admettra que le nombre total de vélos est constant et que tous les matins, à l'ouverture du service, chaque vélo se trouve au point A ou au point B.

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D'après une étude statistique :

\begin{itemize}[leftmargin=*]
	\item si un vélo se trouve au point A un matin, la probabilité qu'il se trouve au point A le matin suivant est égale à $0,84$ ;
	\item si un vélo se trouve au point B un matin la probabilité qu'il se trouve au point B le matin suivant est égale à $0,76$.
\end{itemize}

À l'ouverture du service le premier matin, la société a disposé la moitié de ses vélos au point A, l'autre moitié au point B.

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On considère un vélo de la société pris au hasard.

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Pour tout entier naturel non nul $n$, on définit les évènements suivants :

\begin{itemize}
	\item $A_n$ : \og le vélo se trouve au point A le $n$-ième matin \fg{}
	\item $B_n$ : \og Le vélo se trouve au point B le $n$-ième matin \fg.
\end{itemize}

Pour tout entier naturel non nul $n$, on note $a_n$ la probabilité de l'évènement $A_n$ et $b_n$ celle de l'évènement $B_n$.

Ainsi $a_1 = 0,5$ et $b_1 =  0,5$.

\begin{enumerate}
	\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation pour les deux premiers matins :

	\begin{center}
    \ArbreProbasTikz[PositionProbas=auto]{%
      $A_1$/\numdots/,
      $A_2$/\numdots/,
      $\overline{A_2}$/\numdots/,
      $\overline{A_1}$/\numdots/,
      $A_2$/\numdots/,
      $\overline{A_2}$/\numdots/
    }
	\end{center}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $a_2$.
		\item le vélo se trouve au point à le deuxième matin. Calculer la probabilité qu'il se trouve au point B le premier matin. La probabilité sera arrondie au millième.
	\end{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation pour les $n$-ième et $n + 1$-ième  matins.

    \begin{center}
      \ArbreProbasTikz[PositionProbas=auto]{%
      $A_n$/$a_n$/,
      $A_{n+1}$/\numdots/,
      $\overline{A_{n+1}}$/\numdots/,
      $\overline{A_n}$/\numdots/,
      $A_{n+1}$/\numdots/,
      $\overline{A_{n+1}}$/\numdots/
    }
		\end{center}
		\item Justifier que pour tout entier naturel non nul $n$, $a_{n+1} = 0,6a_n + 0,24$.
	\end{enumerate}
	\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul $n$, $a_n = 0,6 - 0,1 \times 0,6^{n - 1}$.
	\item Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$ et interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice.
	\item Déterminer le plus petit  entier naturel $n$ tel que $a_n \geqslant  0,599$ et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

