% bac2022gen-poly-mai-sujet1-exo3.tex
Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1 + u_n}$.

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les termes $u_1$, $u_2$  et $u_3$. On  donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.
		\item Recopier le script \textsf{Python} ci-dessous et compléter les lignes 3 et 6 pour que \texttt{liste(k)} prenne un paramètre un entier naturel \texttt{k} et renvoie la liste des premières valeurs de la suite $\left(u_n\right)$ de $u_0$ ou à $u_k$.
		
\begin{CodePythonLstAlt}[Largeur=8cm]{center}
def liste(k):
	L = []
	u = ...
	for i in range(0,k+1) :
		L.append(u)
		u = ...
	return(L)
\end{CodePythonLstAlt}
	\end{enumerate}
	\item On admet que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est strictement positif.
	
	Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
	\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
	\item Déterminer la valeur de sa limite.
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Conjecturer une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
		\item Démontrer par récurrence la conjecture précédente.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

