% bac2023gen-amnord-mars-sujet1-exo4.tex
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0}=5$ et pour tout entier naturel $n$, \[u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_{n}+\frac{11}{u_{n}}\right).\]
%
On admet que la suite $\left(u_{n}\right)$ est bien définie.

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\textbf{Partie A - Étude de la suite} $\bm{\left(u_{n}\right)}$

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\begin{enumerate}
	\item Donner $u_{1}$ et $u_{2}$ sous forme de fractions irréductibles.
	\item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty [$ par : \[f(x)=\frac{1}{2}\left(x+\frac{11}{x}\right).\]
	%
	Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $\left[\sqrt{11};+\infty\right[$.
	\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n} \geqslant u_{n+1} \geqslant \sqrt{11}$.
	\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers une limite réelle. On note $a$ cette limite.
	\item Après avoir déterminé et résolu une équation dont $a$ est solution, préciser la valeur exacte de $a$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B - Application géométrique}

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Pour tout entier naturel $n$, on considère un rectangle $R_{n}$ d'aire 11 dont la largeur est notée $\ell_{n}$ et longueur $L_{n}$.

La suite $\left(L_{n}\right)$ est définie par $L_{0}=5$ et, pour tout entier naturel $n$, \[L_{n+1}=\frac{L_{n}+\ell_{n}}{2}.\]

\begin{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer pourquoi $\ell_{0}=2,2$.
		\item Établir que pour tout entier naturel $n$, \[\ell_{n}=\frac{11}{L_{n}}.\]
	\end{enumerate}
	\item Vérifier que la suite $\left(L_{n}\right)$ correspond à la suite $\left(u_{n}\right)$ de la \textbf{partie A}.
	\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $\ell_{n} \leqslant \sqrt{11} \leqslant L_{n}$.
	\item On admet que les suites $\left(L_{n}\right)$ et $\left(\ell_{n}\right)$ convergent toutes les deux vers $\sqrt{11}$. Interpréter géométriquement ce résultat dans le contexte de la \textbf{partie B}.
	\item Voici un script, écrit en langage \textsf{Python}, relatif aux suites étudiées dans cette partie :

\begin{CodePythonLstAlt}[Largeur=8cm]{center}
def heron(n) :
	L = 5
	ell = 2.2
	for i in range(n) :
		L = (L + ell) / 2
		ell = 11 / L
	return round(ell, 6), round(L, 6)
\end{CodePythonLstAlt}

	On rappelle que la fonction Python \texttt{round(x, k)} renvoie une version arrondie du nombre \texttt{x} avec \texttt{k} décimales.
	\begin{enumerate}
		\item Si l'utilisateur tape \texttt{heron(3)} dans une console d'exécution \textsf{Python}, qu'obtient-il comme valeurs de sortie pour \texttt{ell} et \texttt{L} ?
		\item Donner une interprétation de ces deux valeurs.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}