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On étudie un groupe de 3\,000 sportifs qui pratiquent soit l'athlétisme dans le club A, soit le basketball dans le club B.

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En 2023, le club A compte 1\,700 membres et le club B en compte 1\,300.

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On décide de modéliser le nombre de membres du club A et du club B respectivement par deux suites $\suiten[a]$ et $\suiten[b]$, où $n$ désigne le rang de l'année à partir de 2023.

L'année 2023 correspond au rang 0. On a alors $a_0 = \num{1700}$ et $b_0 = \num{1300}$.

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Pour notre étude, on fait les hypothèses suivantes :

\begin{itemize}
	\item durant l'étude, aucun sportif ne quitte le groupe ;
	\item chaque année, 15\,\% des sportifs du club A quittent ce club et adhèrent au club B ;
	\item chaque année, 10\,\% des sportifs du club B quittent ce club et adhèrent au club A.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
	\item Calculer les nombres de membres de chaque club en 2024.
	\item Pour tout entier naturel $n$, déterminer une relation liant $a_n$ et $b_n$.
	\item Montrer que la suite $\suiten[a]$ vérifie la relation suivante pour tout entier naturel $n$ : \[ a_{n+1}=0,75a_n+300. \]
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a : \[ \num{1200} \leqslant a_{n+1} \leqslant a_n \leqslant \num{1700}. \]
		\item En déduire que la suite $\suiten[a]$ converge.
	\end{enumerate}
	\item Soit $\suiten[v]$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = a_n - \num{1200}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\suiten[v]$ est géométrique.
		\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, $a_n = 500 \times 0,75^n + \num{1200}$.
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la suite $\suiten[a]$.
		\item Interpréter le résultat de la question précédente dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
	\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le programme \textsf{Python} ci-dessous afin qu'il renvoie la plus petite valeur de \texttt{n} à partir de laquelle le nombre de membres du club A est strictement inférieur à 1\,280.

\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=7cm]{center}
def seuil() :
	n = 0 
	A = 1700 
	while ...... :
		n = n+1
		A = ......
	return ......
\end{CodePythonLstAlt}
	\item Déterminer la valeur renvoyée lorsqu'on appelle la fonction \texttt{seuil()}. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}