%bac2023gen-amsud-septembre-sujet1-exo2.tex
\begin{enumerate}
	\item Entre 1998 et 2020, en France \num{18221965} accouchements ont été recensés, parmi lesquels \num{293898} ont donné naissance à des jumeaux et \num{4921} ont donné naissance à au
	moins trois enfants.
	\begin{enumerate}
		\item Avec une précision de \num{0,1}\,\% calculer parmi tous les accouchements recensés, le pourcentage d’accouchements donnant naissance à des jumeaux sur la période 1998--2020.
		\item Vérifier que le pourcentage d’accouchements qui ont donné naissance à au moins
		trois enfants est inférieur à \num{0,1}\,\%.

		\smallskip

		On considère alors que ce pourcentage est négligeable.

		\smallskip

		On appelle accouchement ordinaire, un accouchement donnant naissance à un seul enfant.

		\smallskip

		On appelle accouchement double, un accouchement donnant naissance à exactement deux enfants.

		\smallskip

		On considère dans la suite de l’exercice qu’un accouchement est soit ordinaire, soit double.

		\smallskip

		La probabilité d’un accouchement ordinaire est égale à \num{0,984} et celle d’un accouchement double est alors égale à \num{0,016}.

		\smallskip

		Les probabilités calculées dans la suite seront arrondies au millième.
	\end{enumerate}
	\item On admet qu’un jour donné dans une maternité, on réalise $n$ accouchements.

	On considère que ces $n$ accouchements sont indépendants les uns des autres.

	On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d’accouchements doubles pratiqués ce jour.
	\begin{enumerate}
		\item Dans le cas où $n = 20$, préciser la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ et calculer la probabilité qu’on réalise exactement un accouchement double.
		\item Par la méthode de votre choix que vous expliciterez, déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $P(X \geqslant 1) \geqslant 0,99$.

		Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
	\end{enumerate}
	\item Dans cette maternité, parmi les naissances double, on estime qu’il y a 30\,\% de jumeaux monozygotes (appelés « vrais jumeaux » qui sont obligatoirement de même sexe : deux garçons ou deux filles) et donc 70\,\% de jumeaux dizygotes (appelés « faux jumeaux », qui peuvent être de sexes différents : deux garçons, deux filles ou un garçon et une fille).

	\smallskip

	Dans le cas de naissances doubles, on admet que, comme pour les naissances ordinaires, la probabilité d’être une fille à la naissance est égale à \num{0,49} et que celle d’être un garçon à la naissance est égale à \num{0,51}.

	Dans le cas d’une naissance double de jumeaux dizygotes, on admet aussi que le sexe du second nouveau-né des jumeaux est indépendant du sexe du premier nouveau-né.

	\smallskip

	On choisit au hasard un accouchement double réalisé dans cette maternité et on considère les évènements suivants :

	\begin{itemize}
		\item $M$ : « les jumeaux sont monozygotes » ;
		\item $F_1$ : « le premier nouveau-né est une fille » ;
		\item $F_2$ : « le second nouveau-né est une fille ».
	\end{itemize}

	\emph{On notera $P(A)$ la probabilité de l’évènement $A$ et $\overline{A}$ l’évènement contraire de $A$.}

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\def\EspIF{1}\def\EspIN{2.25}
			\coordinate (RAC) at ({0*\EspIN},{-2*\EspIF}) ;
			%niveauC
			\node (C1) at ({3*\EspIN},{-0*\EspIF}) {$F_2$} ;
			\node (C2) at ({3*\EspIN},{-1*\EspIF}) {$\overline{F_2}$} ;
			\node (C3) at ({3*\EspIN},{-2*\EspIF}) {$F_2$} ;
			\node (C4) at ({3*\EspIN},{-3*\EspIF}) {$\overline{F_2}$} ;
			\node (C5) at ({3*\EspIN},{-4*\EspIF}) {$F_2$} ;
			\node (C6) at ({3*\EspIN},{-5*\EspIF}) {$\overline{F_2}$} ;
			%niveauB
			\node (B1) at ({2*\EspIN},{-0*\EspIF}) {$F_1$} ;
			\node (B2) at ({2*\EspIN},{-1*\EspIF}) {$\overline{F_1}$} ;
			\node (B3) at ({2*\EspIN},{-2.5*\EspIF}) {$F_2$} ;
			\node (B4) at ({2*\EspIN},{-4.5*\EspIF}) {$\overline{F_2}$} ;
			%niveauA
			\node (A1) at ({1*\EspIN},{-0.5*\EspIF}) {$M$} ;
			\node (A2) at ({1*\EspIN},{-3.5*\EspIF}) {$\overline{M}$} ;
			%arêtes
			\draw[semithick] (RAC)--(A1) (RAC)--(A2) (A1)--(B1) (A1)--(B2) (A2)--(B3) (A2)--(B4) (B1)--(C1) (B2)--(C2) (B3)--(C3) (B3)--(C4) (B4)--(C5) (B4)--(C6) ;
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Recopier puis compléter l’arbre pondéré ci-dessus.
		\item Montrer que la probabilité que les deux nouveaux-nés soient des filles est \num{0,31507}.
		\item Les deux nouveaux-nés sont des jumelles. Calculer la probabilité qu’elles soient monozygotes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}