%bac2023gen-amsud-septembre-sujet1-exo3.tex
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé $\Rijk$, on considère les points :

\smallskip

\hfill$A(0;4;16)$, \: $B(0;4;-10)$, \: $C(4;-8;0)$ \: et \: $K(0;4;3)$.\hfill~

\smallskip

On définit la sphère $\mathcal{S}$ de centre $K$ et de rayon 13 comme l’ensemble des points $M$ tels que $KM = 13$.

\begin{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que le point $C$ appartient à la sphère $\mathcal{S}$.
		\item Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $C$
	\end{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le vecteur $\vect{n} \begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
	\end{enumerate}
	\item On admet que la sphère $\mathcal{S}$ coupe l’axe des abscisses en deux points, l’un ayant une abscisse positive et l’autre une abscisse négative.

	On note $D$ celui qui a une abscisse positive.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le point $D$ a pour coordonnées $(12; 0; 0)$.
		\item Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $D$ et perpendiculaire au plan $(ABC)$.
		\item Déterminer la distance du point $D$ au plan $(ABC)$.
	\end{enumerate}
	\item Calculer une valeur approchée, à l’unité de volume près, du volume du tétraèdre $ABCD$.

	\emph{On rappelle la formule du volume $\mathcal{V}$ d’un tétraèdre \[ \mathcal{V}=\dfrac13 \times \mathcal{B} \times h \] où $\mathcal{B}$ est l’aire d’une base et $h$ la hauteur associée.}
\end{enumerate}