%bac2023gen-amsud-septembre-sujet1-exo4
\textbf{Partie A}

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Le but de la partie A est d’étudier le comportement de la suite $\suiten$ définie par $u_0 = 0,3$ et par la relation de récurrence, pour tout entier naturel $n$ : \[ u_{n+1} = 2u_n \big(1-u_n\big). \]
Cette relation de récurrence s’écrit $u_{n+1} = f\big(u_n\big)$, où $f$ est la fonction définie sur $\R$ par : \[ f(x)=2x(1-x). \]
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\begin{enumerate}
	\item Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $\intervFF{0}{\dfrac12}$.
	\item On admet que pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant \dfrac12$.

	Calculer $u_1$ puis effectuer un raisonnement par récurrence pour démontrer que pour tout rentier naturel $n$, $u_n \leqslant u_{n+1}$.
	\item En déduire que la suite $\suiten$ est convergente.
	\item Justifier que la limite de la suite $\suiten$ est égale à $\dfrac12$.
\end{enumerate}

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\textbf{Partie B}

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Le but de cette partie est d’étudier un modèle d’évolution d’une population.

En 2022, cette population compte \num{3000} individus.

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On note $P_n$ l’effectif en milliers de la population l’année $2022+n$. Ainsi $P_0 = 3$.

Selon un modèle inspiré du modèle de Verhulst, mathématicien belge du XIX\up{e} siècle, on considère que, pour tout entier naturel $n$ :%
\[ P_{n+1} -P_n = P_n \big(1-b\times P_n\big)\text{, où } b \text{est un réel strictement positif.} \]
Le réel $b$ est un facteur de freinage qui permet de tenir compte du caractère limité des ressources du milieu dans lequel évoluent ces individus.

\begin{enumerate}
	\item Dans cette question $b = 0$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la suite $\suiten[P]$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
		\item Déterminer la limite de $\suiten[P]$.
	\end{enumerate}
	\item Dans cette question $b = 0,2$.
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n = 0,1 \times P_n$.

		Calculer $v_0$ et montrer que, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = 2v_n\big(1-v_n\big)$.
		\item Dans ce modèle, justifier que la population se stabilisera autour d’une valeur que l’on précisera.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}