%bac2023gen-amsud-septembre-sujet2-exo4.tex
Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[ f(x)=\ln\big(1+\e^{-x}\big) +  \frac14 x. \]
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On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $\Rij$ du plan.

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\textbf{Partie A}

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\begin{enumerate}
	\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
	\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout réel $x$, \[ f'(x) = \dfrac{\e^x-3}{4\big(\e^x+1\big)} .\]
		\item En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\R$.
		\item Montrer que l’équation $f(x) = 1$ admet une unique solution $\alpha$ dans l’intervalle $\intervFF{2}{5}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B}

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On admettra que la fonction $f'$ est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$, \[ f''(x) = \dfrac{\e^x}{\big(\e^x+1\big)^2} .\]
%
On note $\Delta$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse 0.

Dans le graphique ci-dessous, on a représenté la courbe $\mathcal{C}_f$, la tangente $\Delta$ et le quadrilatère $MNPQ$ tel que $M$ et $N$ sont les deux points de la courbe $\mathcal{C}_f$ d’abscisses respectives $\alpha$ et $-\alpha$, et $Q$ et $P$ sont les deux points de la droite $\Delta$ d’abscisses respectives $\alpha$ et $-\alpha$.

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[x=1.25cm,y=1.25cm,xmin=-6,xmax=6,xgrille=1,xgrilles=0.2,ymin=-1,ymax=5,ygrille=1,ygrilles=0.2]
		\def\tmpvalalpha{3.92153}
		\GrilleTikz[][thin,lightgray][ultra thin,lightgray] \AxesTikz[ElargirOx=0/0,ElargirOy=0/0]
		%\AxexTikz{} \AxeyTikz{grady}
		\clip (\xmin,\ymin) rectangle (\xmax,\ymax) ;
		\draw (0,0) node[below left=2pt] {$O$} ;
		\draw[line width=1pt,->,>=latex] (0,0)--++(1,0) node[midway,below] {$\vect{\imath}$} ;
		\draw[line width=1pt,->,>=latex] (0,0)--++(0,1) node[midway,left] {$\vect{\jmath}$} ;
		\draw[blue,line width=1.15pt,samples=2,domain=\xmin:\xmax] plot ({\x},{-0.25*\x+ln(2)}) ;
		\draw[line width=1.15pt,densely dashed] ({-\tmpvalalpha},{-0.25*(-\tmpvalalpha)+ln(2)}) -- ({-\tmpvalalpha},0) node[below] {$-\alpha$} ;
		\draw[teal,line width=1.15pt,fill=teal!10,fill opacity=0.5] ({-\tmpvalalpha},{-0.25*(-\tmpvalalpha)+ln(2)}) -- ({-\tmpvalalpha},{ln(1+exp(--\tmpvalalpha))+0.25*(-\tmpvalalpha)}) -- ({\tmpvalalpha},{ln(1+exp(-\tmpvalalpha))+0.25*(\tmpvalalpha)}) -- ({\tmpvalalpha},{-0.25*(\tmpvalalpha)+ln(2)}) -- cycle ;
		\draw[red,line width=1.15pt,samples=500,domain=\xmin:\xmax] plot ({\x},{ln(1+exp(-\x))+0.25*\x}) ;
		%labels
		\draw ({-\tmpvalalpha},{-0.25*(-\tmpvalalpha)+ln(2)}) node[below left] {$P$} ;
		\draw ({-\tmpvalalpha},{ln(1+exp(--\tmpvalalpha))+0.25*(-\tmpvalalpha)}) node[above right] {$N$} ;
		\draw ({\tmpvalalpha},{ln(1+exp(-\tmpvalalpha))+0.25*(\tmpvalalpha)}) node[above] {$M$} ;
		\draw ({\tmpvalalpha},{-0.25*(\tmpvalalpha)+ln(2)}) node[below] {$Q$} ;
		\draw ({\tmpvalalpha},{0}) node[below right] {$\alpha$} ;3
		\draw[red] (-5,3.85) node[below left,font=\large] {$\mathcal{C}_f$} ;
		\draw[blue] (-5,1.95) node[below left,font=\large] {$\Delta$} ;
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier le signe de $f''(x)$ pour $x \in \R$.
		\item En déduire que la portion de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur l’intervalle $\intervFF{\alpha}{-\alpha}$ est inscrite dans le quadrilatère $MNPQ$.
	\end{enumerate}
	\item Montrer que $f(-\alpha) = \ln\big(\e^{-\alpha}+1\big)+\dfrac34 \alpha$.
	\item Démontrer que le quadrilatère $MNPQ$ est un parallélogramme.
\end{enumerate}