% bac2023gen-reunion-mars-sujet1-exo1.tex
Une entreprise appelle des personnes par téléphone pour leur vendre un produit. 

\begin{itemize}
	\item L'entreprise appelle chaque personne une première fois:
	\begin{itemize}
		\item la probabilité que la personne ne décroche pas est égale à $0,6$ ;
		\item si la personne décroche, la probabilité qu'elle achète le produit est égale à $0,3$.
	\end{itemize}
	\item Si la personne n'a pas décroché au premier appel, on procède à un second appel: 
	\begin{itemize}
		\item la probabilité que la personne ne décroche pas est égale à $0,3$ ;
		\item si la personne décroche, la probabilité qu'elle achète le produit est égale à $0,2$.
	\end{itemize}
	\item Si une personne ne décroche pas au second appel, on cesse de la contacter.
\end{itemize}

\medskip

On choisit une personne au hasard et on considère les évènements suivants : 

\begin{itemize}
	\item[] $D_1$ : \og la personne décroche au premier appel \fg{} ;
	\item[] $D_2$ : \og la personne décroche au deuxième appel \fg{} ;
	\item[] $A$ : \og la personne achète le produit \fg.
\end{itemize}

\medskip

\hfill\emph{Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante.}\hfill~

\medskip

\textbf{Partie A}

\begin{wrapstuff}[r,abovesep=-1.25\baselineskip]
\begin{tikzpicture}[]
  \tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,semithick]
  \tikzstyle{noeud}=[]
  \tikzstyle{etiquette}=[midway,sloped]
  \def\DistanceInterNiveaux{2}
  \def\DistanceInterFeuilles{0.75}
  \def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
  \def\NiveauB{(1)*\DistanceInterNiveaux}
  \def\NiveauC{(2)*\DistanceInterNiveaux}
  \def\NiveauD{(3)*\DistanceInterNiveaux}
  \def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
  \node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(2)*\InterFeuilles}) {};
  \node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$D_1$};
  \node[noeud] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$A$};
  \node[noeud] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$\overline{A}$};
  \node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{D_1}$};
  \node[noeud] (Rba) at ({\NiveauC},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$D_2$};
  \node[noeud] (Rbaa) at ({\NiveauD},{(2)*\InterFeuilles}) {$A$};
  \node[noeud] (Rbab) at ({\NiveauD},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{A}$};
  \node[noeud] (Rbb) at ({\NiveauC},{(4)*\InterFeuilles}) {$\overline{D_2}$};
  \draw[fleche] (R)--(Ra) node[etiquette,above] {\numdots};
  \draw[fleche] (Ra)--(Raa) node[etiquette,above] {${0,3}$};
  \draw[fleche] (Ra)--(Rab) node[etiquette,below] {\numdots};
  \draw[fleche] (R)--(Rb) node[etiquette,below] {${0,6}$};
  \draw[fleche] (Rb)--(Rba) node[etiquette,above] {\numdots};
  \draw[fleche] (Rba)--(Rbaa) node[etiquette,above] {\numdots};
  \draw[fleche] (Rba)--(Rbab) node[etiquette,below] {\numdots};
  \draw[fleche] (Rb)--(Rbb) node[etiquette,below] {\numdots};
\end{tikzpicture}
\end{wrapstuff}

\begin{enumerate}
	\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre.
	\item En utilisant l'arbre pondéré, montrer que la probabilité de l'évènement $A$ est 
	
	$P(A) = 0,204$.
	\item On sait que la personne a acheté le produit.
	
	Quelle est la probabilité qu'elle ait décroché au premier appel ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On rappelle que, pour une personne donnée, la probabilité qu'elle achète le produit est égale à $0,204$.

\begin{enumerate}
	\item On considère un échantillon aléatoire de $30$ personnes.
	
	On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes de l'échantillon qui achètent le produit.
	\begin{enumerate}
		\item On admet que X suit une loi binomiale. Donner, sans justifier, ses paramètres. 
		\item Déterminer la probabilité qu'exactement 6 personnes de l'échantillon achètent
		le produit. Arrondir le résultat au millième.
		\item Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$.
	\end{enumerate}
	Interpréter le résultat.
	\item Soit $n$ un entier naturel non nul.
	
	On considère désormais un échantillon de $n$ personnes. 
	
	Déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que la probabilité qu'au moins l'une des personnes de l'échantillon achète le produit soit supérieure ou égale à $0,99$.
\end{enumerate}
