% bac2024gen-amsud-novembre-sujet1-exo2.tex
On dispose de deux urnes opaques $U_1$ et $U_2$.

L’urne $U_1$ contient 4 boules noires et 6 boules blanches.

L’urne $U_2$ contient 1 boule noire et 3 boules blanches.

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On considère l’expérience aléatoire suivante.

On pioche au hasard une boule dans $U_1$ que l’on place dans $U_2$, puis on pioche au hasard une boule dans $U_2$.

\smallskip

On note :

\begin{itemize}
	\item $N_1$ l’évènement « Piocher une boule noire dans l’urne $U_1$ » ;
	\item $N_2$ l’évènement « Piocher une boule noire dans l’urne $U_2$ ».
\end{itemize}

Pour tout évènement $A$, on note $\overline{A}$ son évènement contraire.

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\textbf{PARTIE A}

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\begin{enumerate}
	\item On considère l’arbre de probabilités ci-contre.
	
	\begin{wrapstuff}[r,abovesep=-0.5\baselineskip]
		\def\ArbreDeuxDeux{
			$N_1$//above,
			$N_2$//above,
			$\overline{N_2}$//above,
			$\overline{N_1}$//above,
			$N_2$/\num{0.2}/,
			$\overline{N_2}$//above
		}
		\ArbreProbasTikz[EspaceNiveau=2.25]{\ArbreDeuxDeux}
	\end{wrapstuff}
	
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la probabilité de piocher une boule noire dans l’urne $U_2$ sachant qu’on a pioché une boule blanche dans l’urne $U_1$ est $0,2$.
		\item Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-contre, en faisant apparaître sur chaque branche les probabilités des évènements concernés, sous forme décimale.
	\end{enumerate}
	\item Calculer la probabilité de piocher une boule noire dans l’urne $U_1$ et une boule noire dans l’urne $U_2$.
	\item Justifier que la probabilité de piocher une boule noire dans l’urne $U_2$ est égale à $0,28$.
	\item On a pioché une boule noire dans l’urne $U_2$. Calculer la probabilité d’avoir pioché une boule blanche dans l’urne $U_1$. On donnera
	le résultat sous forme décimale arrondie à $10^{-2}$.
\end{enumerate}

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\textbf{PARTIE B}

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$n$ désigne un entier naturel non nul.

L’expérience aléatoire précédente est répétée n fois de façon identique et indépendante, c’est-à-dire que les urnes $U_1$ et $U_2$ sont remises dans leur configuration initiale, avec respectivement 4 boules noires et 6 boules blanches dans l’urne $U_1$ et 1 boule noire et 3 boules blanches dans l’urne $U_2$, entre chaque expérience.

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On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où on pioche une boule noire dans l’urne $U_2$.

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On rappelle que la probabilité de piocher une boule noire dans l’urne $U_2$ est égale à $0,28$ et celle de piocher une boule blanche dans l’urne $U_2$ est égale à $0,72$.

\begin{enumerate}
	\item Déterminer la loi de probabilité suivie par $X$. Justifier votre réponse.
	\item Déterminer par le calcul le plus petit entier naturel $n$ tel que :
	$1-0,72^n \geqslant 0,9$.
	\item Interpréter le résultat précédent dans le contexte de l’expérience.
\end{enumerate}

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\textbf{PARTIE C}

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Dans cette partie les urnes $U_1$ et $U_2$ sont remises dans leur configuration initiale, avec respectivement 4 boules noires et 6 boules blanches dans l’urne $U_1$ et 1 boule noire et 3 boules
blanches dans l’urne $U_2$.

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On considère la nouvelle expérience aléatoire suivante.

On pioche simultanément deux boules dans l’urne $U_1$ que l’on place dans l’urne $U_2$, puis on pioche au hasard une boule dans l’urne $U_2$.

\begin{enumerate}
	\item Combien y a-t-il de tirages possibles de deux boules simultanément dans l’urne $U_1$ ?
	\item Combien y a-t-il de tirages possibles de deux boules simultanément dans l’urne $U_1$ contenant exactement une boule blanche et une boule noire ?
	\item La probabilité de piocher une boule noire dans l’urne $U_2$ avec cette nouvelle expérience est- elle supérieure à la probabilité de tirer une boule noire dans l’urne $U_2$ avec l’expérience de la \textbf{partie A} ? Justifier votre réponse. \textit{On pourra s’aider d’un arbre pondéré modélisant cette expérience.}
\end{enumerate}