% bac2024gen-amsud-novembre-sujet1-exo3.tex
Répondre par VRAI ou FAUX à chacune des affirmations suivantes et justifier votre réponse.

Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte dans la notation. Toutes les questions de cet exercice sont indépendantes.

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\begin{enumerate}
	\item On considère la suite \Suite{u} définie pour tout entier naturel non nul $n$ par $u_n = \frac{25+(-1)^n}{n}$.
	
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	\textbf{Affirmation 1} : La suite \Suite{u} est divergente.
	\item On considère la suite $\Suite{w}$ définie pour tout entier naturel $n$ par $\begin{dcases} w_0 = 1 \\ w_{n+1}=\frac{w_n}{1+w_n} \end{dcases}$.
	
	On admet que pour tout entier naturel $n$, $w_n > 0$.
	
	On considère la suite $\Suite{t}$ définie pour tout entier naturel $n$ par $t_n = \frac{k}{w_n}$ où $k$ est un nombre réel strictement positif.
	
	\medskip
	
	\textbf{Affirmation 2} : La suite $\Suite{t}$ est une suite arithmétique strictement croissante.
	\item On considère la suite $\Suite{v}$ définie pour tout entier naturel $n$ par $\begin{dcases} v_0 = 1 \\ v_{n+1}=\ln\big(1+v_n\big) \end{dcases}$.
	
	On admet que pour tout entier naturel $n$, $v_n > 0$.
	
	\medskip
	
	\textbf{Affirmation 3} : La suite $\Suite{v}$ est décroissante.
	\item On considère la suite $\Suite{I}$ définie pour tout entier naturel $n$ par $I_n = \displaystyle\int_1^{\e} {\big(\ln(x)\big)}^n \dx$.
	
	\medskip
	
	\textbf{Affirmation 4} : Pour tout entier naturel $n$, $I_{n+1} = \e-(n+1)I_n$.
\end{enumerate}