% bac2025gen-amnord-mai-sujet2-exo2.tex
\begin{scontents}[overwrite,write-out=an2025j2exo2.py]
from math import *
def Briggs(a) :
	n = 0
	while a >= 1.01 :
		n = n+1
		L = .......
	return L
\end{scontents}

Un des objectifs de cet exercice est de déterminer une approximation du nombre réel $\ln(2)$, en utilisant une des méthodes du mathématicien anglais Henry Briggs au 16\up{e} siècle.

On désigne par $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par : \[u_{0}=2 \quad \text { et } \quad \text { pour tout entier naturel } n,~u_{n+1}=\sqrt{u_{n}}.\]

\textbf{PARTIE A}

\begin{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur exacte de $u_{1}$ et de $u_{2}$.
		\item Émettre une conjecture, à l'aide de la calculatrice, sur le sens de variation et la limite éventuelle de la suite.
	\end{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n}$.
		\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
		\item Résoudre dans l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ l'équation $\sqrt{x}=x$.
		\item Déterminer, en justifiant, la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{PARTIE B}

\medskip

On désigne par $\left(v_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=\ln{\left(u_{n}\right)}$.

\begin{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$.
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $\ln(2)=2^{n} \ln{\left(u_{n}\right)}$.
	\end{enumerate}
	\item On a tracé ci-dessous dans un repère orthonormé la courbe $\mathcal{C}$ de la fonction $\ln$ et la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1.
	Une équation de la droite T est $y=x-1$.
	Les points $A_{0}, A_{1}, A_{2}$ ont pour abscisses respectives $u_{0}, u_{1}$ et $u_{2}$ et pour ordonnée 0 .
	
	\begin{Centrage}
		\begin{GraphiqueTikz}[x=4.4cm,y=4.4cm,Xmin=-0.25,Xmax=2.25,Xgrille=1,Xgrilles=1,Ymin=-0.25,Ymax=1.25,Ygrille=1,Ygrilles=1]
			\draw (-2pt,-2pt) node[below left] {$0$} ;
			\TracerAxesGrilles[Grille=false,Elargir=2.5mm]{1,2}{0.5,1}
			\TracerCourbe[Couleur=red,Debut=0.5]{ln(x)}
			\TracerCourbe[Couleur=blue]{x-1}
			\PlacerTexte[Police=\Large,Couleur=red]{(1.91,0.568)}{$\mathcal{C}$}
			\PlacerTexte[Police=\Large,Couleur=blue]{(1.91,0.795)}{$T$}
			%points suite u_n
			\filldraw (2,0) circle[radius=2pt] node[above] {$A_{0}$} ;
			\filldraw ({sqrt(2)},0) circle[radius=2pt] node[above] {$A_{1}$} ;
			\filldraw ({sqrt(sqrt(2))},0) circle[radius=2pt] node[above] {$A_{2}$} ;
		\end{GraphiqueTikz}
	\end{Centrage}

	On décide de prendre $x-1$ comme approximation de $\ln(x)$ lorsque $x$ appartient à l'intervalle $\IntervalleOO{0,99}{1,01}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer à l'aide de la calculatrice le plus petit entier naturel $k$ tel que $u_{k}$ appartienne à l'intervalle $\IntervalleOO{0,99}{1,01}$ et donner une valeur approchée de $u_{k}$ à $10^{-5}$ près.
		\item En déduire une approximation de $\ln \left(u_{k}\right)$.
		\item Déduire des questions \textbf{1.(c)} et \textbf{2.(b)} de la \textbf{partie B} une approximation de $\ln (2)$.
	\end{enumerate}
	\item On généralise la méthode précédente à tout réel $a$ strictement supérieur à 1.
	
	Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin que l'appel \AffVignette[Type=py]{Briggs(a)} renvoie une approximation de $\ln (a)$.
	On rappelle que l'instruction en langage \AffVignette[Type=py]{Python} \AffVignette[Type=py]{sqrt(a)} correspond à $\sqrt{a}$.
	
	\CodePythonLstFichierAlt*[8cm]{center}{an2025j2exo2.py}
\end{enumerate}


