% bac2025gen-amnord-mai-sujet2-remplacement-exo3.tex
Dans cet exercice, les réponses seront arrondies à $10^{-4}$ près.

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Durant la saison hivernale, la circulation d'un virus a entraîné la contamination de $2\,\%$ de la population d'un pays. Dans ce pays, $90\,\%$ de la population a été vaccinée contre ce virus.

On constate que $62\,\%$ des personnes contaminées avaient été vaccinées.

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On interroge au hasard une personne, et on note les évènements suivants :

\begin{itemize}
	\item[] $C$ : \og la personne a été contaminée \fg{}
	\item[] $V$ : \og la personne a été vaccinée \fg{}.
\end{itemize}

Les évènements contraires des évènements $C$ et $V$ sont notés respectivement $\overline{C}$ et $\overline{V}$.

\begin{enumerate}
	\item À partir de l'énoncé, donner, sans calcul, les probabilités $P(C)$, $P(V)$ et la probabilité conditionnelle $P_C(V)$.
	%de : ce "de" est sur le sujet, ça me semble être une erreur de français. (cf remarque APMEP)
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(C \cap V)$.
		\item En déduire $P\big(\overline{C} \cap V\big)$.
	\end{enumerate}
	\item Recopier l'arbre des probabilités ci-dessous et le compléter.
	
	\begin{Centrage}
		\ArbreProbasTikz[PositionProbas=auto]{$C$/\numdots/,$V$/\numdots/,$\overline{V}$/\numdots/,$\overline{C}$/\numdots/,$V$/\numdots/,$\overline{V}$/\numdots/}
	\end{Centrage}
%	
%	\begin{center}
%		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1,baseline={(R.base)}]
%			% Styles (MODIFIABLES)
%			\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick]
%			\tikzstyle{noeud}=[fill=white,circle,inner sep=2pt]
%			\tikzstyle{feuille}=[fill=white,circle,inner sep=2pt]
%			\tikzstyle{etiquette}=[pos=0.6,fill=white, inner xsep=3pt, inner ysep=1.5pt]
%			% Dimensions (MODIFIABLES)
%			\def\DistanceInterNiveaux{3}
%			\def\DistanceInterFeuilles{0.8}
%			% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
%			\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
%			\def\NiveauB{(1)*\DistanceInterNiveaux}
%			\def\NiveauC{(2)*\DistanceInterNiveaux}
%			\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
%			% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
%			\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(1.5)*\InterFeuilles}) {};
%			\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$C$};
%			\node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$V$};
%			\node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$\overline{V}$};
%			\node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$\overline{C}$};
%			\node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$V$};
%			\node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{V}$};
%			% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
%			\draw[fleche] (R.east)--(Ra.west);% node[etiquette] {$$};
%			\draw[fleche] (Ra.east)--(Raa.west);% node[etiquette] {$$};
%			\draw[fleche] (Ra.east)--(Rab.west);% node[etiquette] {$$};
%			\draw[fleche] (R.east)--(Rb.west);% node[etiquette] {$$};
%			\draw[fleche] (Rb.east)--(Rba.west);% node[etiquette] {$$};
%			\draw[fleche] (Rb.east)--(Rbb.west);% node[etiquette] {$$};
%		\end{tikzpicture}
%	\end{center}
%	
	\item Calculer $P_V(C)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
	\item Déterminer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant votre réponse.
	\begin{enumerate}
		\item \og Parmi les personnes non contaminées, il y a dix fois plus de personnes vaccinées que de personnes non vaccinées.\fg
		
		\item \og Plus de 98\,\% de la population vaccinée n'a pas été contaminée.\fg{}
	\end{enumerate}
	\item On s'intéresse à un échantillon de $20$ personnes choisies au hasard dans la population.
	
	La population du pays est assez importante pour qu'on puisse assimiler ce choix à des tirages successifs avec remise.
	
	On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de personnes contaminées.
	
	\emph{On rappelle que, pour une personne choisie au hasard, la probabilité d'être contaminée est} $p = 0,02$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $X$ ? Justifier et donner ses paramètres.
		\item Calculer, en rappelant la formule, la probabilité que 4 personnes exactement soient contaminées dans ce groupe de 20 personnes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


