% bac2025gen-amsud-novembre-sujet1-exo1.tex
\begin{scontents}[overwrite,write-out=amsud2025j1exo1a.py]
def repas(n) :
	p = 1
	L = [p]
	for k in range(1, n) :
		p = 0.2 * p + 0.7
		L.append(p)
	return L
\end{scontents}

\begin{scontents}[overwrite,write-out=amsud2025j1exo1b.py]
def repas(n) :
	p = 1
	L = [p]
	for k in range(1, n+1) :
		p = 0.2 * p + 0.7
		L.append(p)
	return L
\end{scontents}

\begin{scontents}[overwrite,write-out=amsud2025j1exo1c.py]
def repas(n) :
	p = 1
	L = [p]
	for k in range(1, n+1) :
		p = 0.2 * p + 0.7
		L.append(p+1)
	return L
\end{scontents}
Un étudiant mange tous les jours au restaurant universitaire. Ce restaurant propose des plats végétariens et des plats non végétariens.

\begin{itemize}
	\item Lorsqu'un jour donné l'étudiant a choisi un plat végétarien, la probabilité qu'il choisisse un plat végétarien le lendemain est $0,9$.
	\item Lorsqu'un jour donné l'étudiant a choisi un plat non végétarien, la probabilité qu'il choisisse un plat végétarien le lendemain est $0,7$.
\end{itemize}

Pour tout entier naturel $n$, on note $V_n$ l'événement « l'étudiant a choisi un plat végétarien le $n^{\text{ième}}$ jour » et $p_n$ la probabilité de $V_n$.

Le jour de la rentrée, l'étudiant a choisi le plat végétarien. On a donc $p_1 = 1$.

\begin{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Indiquer la valeur de $p_2$.
		\item  Montrer que $p_3 = 0,88$. On pourra s'aider d'un arbre pondéré.
		\item Sachant que le 3\textsuperscript{e} jour l'étudiant a choisi un plat végétarien, quelle est la probabilité qu'il ait choisi un plat non végétarien le jour précédent ? On arrondira le résultat à $ 10^{-3} $.
	\end{enumerate}
	\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous :
	
	\begin{Centrage}
		\ArbreProbasTikz{$V_{n}$/$p_{n}$/,$V_{n+1}$/\numdots/,$\overline{V}_{n+1}$/\numdots/,$\overline{V}_{n}$/\numdots/,$V_{n+1}$/\numdots/,$\overline{V}_{n+1}$/\numdots/}
	\end{Centrage}
	\item Justifier que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, $p_{n+1}=0,2p_n + 0,7$.
	\item On souhaite disposer de la liste des premiers termes de la suite $\left(p_n\right)$ pour $n \geqslant 1$.
	
	Pour cela, on utilise une fonction appelée \AffVignette[Type=py]{repas} programmée en langage \textsf{Python} dont on propose trois versions, indiquées ci-dessous.
	
	\medskip
	
	\begin{minipage}{0.33\linewidth}
		\CodePythonLstFichierAlt[\linewidth]{center,title={Programme 1},listing options={style=PLpython,xleftmargin=\PythonCodeXLeft,numbers=left,tabsize=2,basicstyle=\ttfamily\scriptsize}}{amsud2025j1exo1a.py}
	\end{minipage}
	%
	\begin{minipage}{0.33\linewidth}
		\CodePythonLstFichierAlt[\linewidth]{center,title={Programme 2},listing options={style=PLpython,xleftmargin=\PythonCodeXLeft,numbers=left,tabsize=2,basicstyle=\ttfamily\scriptsize}}{amsud2025j1exo1b.py}
	\end{minipage}
	%
	\begin{minipage}{0.33\linewidth}
		\CodePythonLstFichierAlt[\linewidth]{center,title={Programme 3},listing options={style=PLpython,xleftmargin=\PythonCodeXLeft,numbers=left,tabsize=2,basicstyle=\ttfamily\scriptsize}}{amsud2025j1exo1c.py}
	\end{minipage}
	\begin{enumerate}
		\item Lequel de ces programmes permet d'afficher les $n$ premiers termes de la suite $\left(p_n\right)$ ? Aucune justification n'est attendue.
		\item Avec le programme choisi à la question \textbf{(a)}, donner le résultat affiché pour \AffVignette[Type=py]{n = 5}.
	\end{enumerate}
	\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, $p_n = 0,125 \times 0,2^{n-1} + 0,875 $.
	\item En déduire la limite de la suite $\left(p_n\right)$.
\end{enumerate}


