% bac2025gen-amsud-novembre-sujet1-exo4.tex
\begin{Centrage}
	\begin{EnvTikzEspace}[UniteX={-152.5:1.8cm},UniteY={-10:2.5cm},UniteZ={90:2.75cm}]<thick>
		\draw[] (0,0,0)--(4,0,0) ;
		\draw[] (0,0,0)--(0,2.5,0) ;
		\draw[] (0,0,0)--(0,0,1.25) ;
		\draw (0,0,0) node[below] {$O$} ;
		\PlacePointsEspace[]{A/{2*sqrt(3)},0,0/hg B/0,2,0/hd C/0,0,1/hg K/{0.5*sqrt(3)},1.5,0/bd}
		\TraceSegmentsEspace[darkgray,very thick]{A/B B/C C/A C/K}
		\draw[->,>=latex] (0,0,0)--(1,0,0) node[midway,above] {$\vec{\imath}$} ;
		\draw[->,>=latex] (0,0,0)--(0,1,0) node[midway,above] {$\vec{\jmath}$} ;
		\draw[->,>=latex] (0,0,0)--(0,0,1) node[midway,left] {$\vec{k}$} ;
	\end{EnvTikzEspace}
\end{Centrage}

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\Rijk$.

\medskip

On considère les points $A\left(2\sqrt{3}; 0; 0\right)$, $B(0; 2; 0)$, $C(0; 0; 1)$ et $K\left(\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{3}{2};0\right)$.

\begin{enumerate}
	\item Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite $(CK)$ est : \[ \begin{cases} x = \frac{\sqrt{3}}{2} t \\ y = \frac{3}{2} t \\ z = -t + 1 \end{cases} \qquad (t \in \R).\]
	\item Soit $M(t)$ un point de la droite $(CK)$ paramétrée par un réel $t$.
	
	Établir que $OM(t)=\sqrt{4 t^2 - 2 t + 1}$.
	\item Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $\R$ par $f(t) = OM(t)$.
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de la fonction $ f $ sur $\R$.
		\item En déduire la valeur de $ t $ pour laquelle $f$ atteint son minimum.
	\end{enumerate}
	\item En déduire que le point $H\left(\frac{\sqrt{3}}{8};\frac{3}{8};\frac{3}{4}\right)$ est le projeté orthogonal du point $O$ sur la droite $(CK)$.
	\item Démontrer, à l'aide de l'outil produit scalaire, que le point $H$ est l'orthocentre (\textit{intersection des hauteurs d'un triangle}) du triangle $ABC$.
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la droite $(OH)$ est orthogonale au plan $(ABC)$.
		\item En déduire une équation du plan $(ABC)$.
	\end{enumerate}
	\item Calculer, en unité d'aire, l'aire du triangle $ABC$.
\end{enumerate}
