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\textit{Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près en cas de besoin.}

\textit{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes l'une de l'autre. }

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\textbf{Partie A}

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Au tennis, le joueur qui est au service peut, en cas d'échec lors du premier service, servir une deuxième balle.

En match, Abel réussit son premier service dans 70\,\% des cas. Lorsque le premier service est réussi, il gagne le point dans 80\,\% des cas. En revanche, après un échec à son premier service, Abel gagne le point dans 45\,\% des cas.

Abel est au service. On considère les événements suivants :

\begin{itemize}[leftmargin=1.25cm]
	\item S : « Abel réussit son premier service »
	\item G : « Abel gagne le point ».
\end{itemize}

\begin{enumerate}
	\item Décrire l'événement $\overline{S}$ puis traduire la situation par un arbre pondéré.
	\item Calculer $P(S \cap G)$.
	\item Justifier que la probabilité de l'événement $G$ est égale à $0,695$.
	\item Abel a gagné le point. Quelle est la probabilité qu'il ait réussi son premier service ?
	\item Les événements $S$ et $G$ sont-ils indépendants ? Justifier.
\end{enumerate}

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\textbf{Partie B}

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À la sortie d'une usine de fabrication de balles de tennis, une balle est jugée conforme dans 85\,\% des cas.

\begin{enumerate}
	\item On teste successivement 20 balles. On considère que le nombre de balles est suffisamment grand pour assimiler ces tests à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de balles conformes parmi les 20 testées.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi suivie par $X$ et quels sont ses paramètres ? Justifier.
		\item Calculer $P(X \leqslant 18)$.
		\item Quelle est la probabilité qu'au moins deux balles ne soient pas conformes parmi les 20 balles testées ?
		\item Déterminer l'espérance de $X$.
	\end{enumerate}
	\item On teste maintenant $n$ balles successivement. On considère les $n$ tests comme un échantillon de $n$ variables aléatoires $X_{i}$ indépendantes suivant la loi de Bernoulli de paramètre $0,85$.
	
	On considère la variable aléatoire \[ M_{n} = \sum_{i=1}^{n} \frac{X_{i}}{n} = \frac{X_{1}}{n} + \frac{X_{2}}{n} + \frac{X_{3}}{n} + \ldots + \frac{X_{n}}{n}. \]
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'espérance et la variance de $M_n$.
		\item Après avoir rappelé l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que, pour tout entier naturel $n$, ${P(0,75 < M_n < 0,95) \geqslant 1 - \frac{12,75}{n}}$.
		\item En déduire un entier $n$ tel que la moyenne du nombre de balles conformes pour un échantillon de taille $n$ appartienne à l'intervalle $\IntervalleOO{0,75}{ 0,95}$ avec une probabilité supérieure à $0,9$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


