% bac2025gen-amsud-novembre-sujet2-exo3.tex
\begin{scontents}[overwrite,write-out=as2025j2exo3.py]
from math import log as ln
from math import exp

def seuil(S) :
	V = ln(4)
	n = 0
	while V < S :
		n = n + 1
		V = ln(2 * exp(V) - 1)
	return(n)
\end{scontents}
On considère les suites $\Suite{v}$ et $\Suite{w}$ définies pour tout entier naturel $n$ par :
\[
\begin{cases}
	v_0 = \ln(4) \\
	v_{n+1} = \ln\big({-1 + 2\e^{v_n}}\big)
\end{cases}
\text{ et }\:
w_n = -1 + e^{v_n}.
\]
%
On admet que la suite $\Suite{v}$ est bien définie et strictement positive.

\begin{wrapstuff}[r]
\begin{tikzpicture}[scale=0.55,transform shape]
	\tabcolwidth{2.55cm}
	\tableur[19]{A-C}
	\lignetxt*[align=left,font=\sffamily]{1}{n,v\_n,w\_n}
	\lignetxt*[align=right,font=\sffamily]{2}{0,1{,}386294361,3}
	\lignetxt*[align=right,font=\sffamily]{3}{1,1{,}945910149,6}
	\lignetxt*[align=right,font=\sffamily]{4}{2,2{,}564949357,12}
	\lignetxt*[align=right,font=\sffamily]{5}{3,3{,}218875825,24}
	\lignetxt*[align=right,font=\sffamily]{6}{4,3{,}891820298,48}
	\lignetxt*[align=right,font=\sffamily]{7}{5,4{,}574710979,96}
	\lignetxt*[align=right,font=\sffamily]{8}{6,5{,}262690189,192}
	\lignetxt*[align=right,font=\sffamily]{9}{7,5{,}953243334,384}
	\lignetxt*[align=right,font=\sffamily]{10}{8,6{,}64509097,768}
	\lignetxt*[align=right,font=\sffamily]{11}{9,7{,}337587744,1536}
	\lignetxt*[align=right,font=\sffamily]{12}{10,8{,}030409562,3072}
	\lignetxt*[align=right,font=\sffamily]{13}{11,8{,}723394022,6144}
	\lignetxt*[align=right,font=\sffamily]{14}{12,9{,}416459832,12288}
	\lignetxt*[align=right,font=\sffamily]{15}{13,10{,}10956633,24576}
	\lignetxt*[align=right,font=\sffamily]{16}{14,10{,}80269316,49152}
	\lignetxt*[align=right,font=\sffamily]{17}{15,11{,}49583017,98304}
	\lignetxt*[align=right,font=\sffamily]{18}{16,12{,}18897226,196608}
	\lignetxt*[align=right,font=\sffamily]{19}{17,12{,}8821169,393216}
\end{tikzpicture}
\end{wrapstuff}

\begin{enumerate}
	\item Donner les valeurs exactes de $v_1$ et $w_0$.
	
	\item
	
	\begin{enumerate}
		\item Une partie d'une feuille de calcul où figurent les indices et les termes des suites $\Suite{v}$ et $\Suite{w}$ est reproduite ci-contre.
		
		Parmi les trois formules suivantes, choisir celle qui, saisie dans la cellule \AffVignette[Type=perso/TABL,Couleur=green!50!black,Police=\footnotesize\sffamily]{B3} puis recopiée vers le bas, permettra d'obtenir les valeurs de la suite $\Suite{v}$ dans la colonne \AffVignette[Type=perso/TABL,Couleur=green!50!black,Police=\footnotesize\sffamily]{B}.
		
		\medskip
		
		\leavevmode\hspace*{1cm}
		\begin{tblr}{stretch=1.125,hlines,vlines,colspec={Q[m,l,2cm]Q[m,l]}}
			Formule 1 & \AffVignette[Type=perso/TABL,Couleur=green!50!black,Police=\footnotesize\sffamily]{LN(-1 + 2 * EXP(B2))} \\
			Formule 2 & \AffVignette[Type=perso/TABL,Couleur=green!50!black,Police=\footnotesize\sffamily]{=LN(-1 + 2 * EXP(B2))} \\
			Formule 3 & \AffVignette[Type=perso/TABL,Couleur=green!50!black,Police=\footnotesize\sffamily]{=LN(-1 + 2 * EXP(A2))} \\
		\end{tblr}
		
		\medskip
		\item Conjecturer le sens de variation de la suite $\Suite{v}$.
		
		\item À l'aide d'un raisonnement par récurrence, valider votre conjecture concernant le sens de variation de la suite $\Suite{v}$.
	\end{enumerate}
	
	\item
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\Suite{w}$ est géométrique.
		
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$, $v_n = \ln\big(1 + 3 \times 2^n\big)$.
		
		\item Déterminer la limite de la suite $(v_n)$.
	\end{enumerate}
	
	\item Justifier que l'algorithme suivant, écrit en langage \textsf{Python}, renvoie un résultat quel que soit le choix de la valeur du nombre \AffVignette[Type=py]{S}.
	
	\CodePythonLstFichierAlt*[8cm]{center}{as2025j2exo3.py}
\end{enumerate}


