% bac2025gen-asie-juin-sujet2-exo2.tex
\begin{scontents}[overwrite,write-out=asie2025j2exo2.py]
def suite(n) :
	U = 30
	W = 45
	for i in range(1, n+1) :
		U = U/2 + 10
		W = W/2 + U/2 + 7
	return W
\end{scontents}
\textbf{\underline{Partie A}}

\medskip

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{0}=30$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{2} u_{n}+10$.

Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=u_{n}-20$.

\begin{enumerate}
	\item Calculer les valeurs exactes de $u_{1}$ et $u_{2}$.
	\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
	\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$ pour tout $n$ entier naturel.
	\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n}=20+10\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}$.
	\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

Soit $\left(w_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par : \[ \begin{dcases} w_{0}=45 \\
	w_{n+1}=\frac{1}{2} w_{n}+\frac{1}{2} u_{n}+7 \end{dcases} \]
%
\begin{enumerate}
	\item Montrer que $w_{1}=44,5$.
\end{enumerate}

On souhaite écrire une fonction \AffVignette[Type=py]{suite} en langage \textsf{Python}, qui renvoie la valeur du terme $w_{n}$ pour une valeur de $n$ donnée. On donne ci-dessous une proposition pour cette fonction \AffVignette[Type=py]{suite}.

\CodePythonLstFichierAlt[9cm]{center}{asie2025j2exo2.py}

\begin{enumerate}[resume]
	\item L'exécution de \AffVignette[Type=py]{suite(1)} ne renvoie pas le terme $w_{1}$. Comment modifier la fonction \texttt{suite} afin que l'exécution de \AffVignette[Type=py]{suite(n)} renvoie la valeur du terme $w_{n}$ ?
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer, par récurrence sur $n$, que pour tout entier naturel $n$ on a : \[ w_{n}=10n\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}+11\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}+34 \]
		\item On admet que pour tout entier naturel $n \geqslant 4$, on a : $0 \leqslant 10 n\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} \leqslant \dfrac{10}{n}$.
		
		Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite $\left(w_{n}\right)$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


