% bac2025gen-asie-septembre-sujet2-exo2.tex
{\itshape Dans un triangle non équilatéral, la droite d'Euler est la droite qui passe par les trois points suivants :
\begin{itemize}
	\item le centre du cercle circonscrit à ce triangle (cercle passant par les trois sommets de ce triangle) ;
	\item le centre de gravité de ce triangle situé à l'intersection des médianes de ce triangle ;
	\item l'orthocentre de ce triangle situé à l'intersection des hauteurs de ce triangle ».
\end{itemize}}

\smallskip

\begin{wrapstuff}[r]
	\begin{EnvTikzEspace}[VueClassique]
		\PaveTikzTriDim[Cube,Largeur=3.25,Sommets={B§C§D§A§F§G§H§E},AffLabel]
	\end{EnvTikzEspace}
\end{wrapstuff}


Le but de l'exercice est d'étudier un exemple de droite d'Euler.

\smallskip

On considère un cube $ABCDEFGH$ de côté une unité.

L'espace est muni du repère orthonormé $\RepereEspace{A}{AB}{AD}{AE}$.

On note $I$ le milieu du segment $[AB]$ et $J$ le milieu du segment $[BG]$.

\begin{enumerate}
	\item Donner sans justification les coordonnées des points $A$, $B$, $G$, $I$ et $J$.
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AJ)$.
		\item Montrer qu'une représentation paramétrique de la droite $(IG)$ est : \[ \begin{cases} x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} t \\ y=t \\ z=t \end{cases} \text{ avec } t \in \R. \]
		\item Démontrer que les droites $(AJ)$ et $(IG)$ sont sécantes en un point $S$ de coordonnées $S\left(\frac{2}{3} ; \frac{1}{3} ; \frac{1}{3}\right)$.
	\end{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le vecteur $\vec{n}(0 ;-1 ; 1)$ est normal au plan $(ABG)$.
		\item En déduire une équation cartésienne du plan $(ABG)$.
		\item On admet qu'une représentation paramétrique de la droite $(d)$ de vecteur directeur $\vec{n}$ et passant par le point $K$ de coordonnées $\left(\frac{1}{2} ; 0 ; 1\right)$ est : \[ \begin{cases} x=\frac{1}{2} \\ y=-t \\ z=1+t \end{cases} \text{ avec } t \in \R. \]
		%
		Montrer que cette droite $(d)$ coupe le plan $(ABG)$ en un point $L$ de coordonnées $L\left(\frac{1}{2} ; \frac{1}{2} ; \frac{1}{2}\right)$.
		\item Montrer que le point $L$ est équidistant des points $A$, $B$ et $G$.
	\end{enumerate}
	\item Montrer que le triangle $ABG$ est rectangle en $B$.
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Identifier le centre du cercle circonscrit, le centre de gravité et l'orthocentre du triangle $ABG$ (aucune justification n'est attendue).
		\item Vérifier par un calcul que ces trois points sont effectivement alignés.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


