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Soit $n$ un entier naturel non nul.

Dans le cadre d'une expérience aléatoire, on considère une suite d'évènements $A_{n}$ et on note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $A_{n}$.

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Pour les parties \textbf{A} et \textbf{B} de l'exercice, on considère que :

\begin{itemize}
	\item Si l'événement $A_{n}$ est réalisé alors l'événement $A_{n+1}$ est réalisé avec une probabilité $0,3$.
	\item Si l'événement $A_{n}$ n'est pas réalisé alors l'événement $A_{n+1}$ est réalisé avec une probabilité $0,7$.
\end{itemize}

On suppose que $p_{1}=1$.

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\textbf{Partie A :}

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\begin{enumerate}
	\item Recopier et compléter les probabilités sur les branches de l'arbre des probabilités ci-dessous :
	
	\begin{Centrage}
		\ArbreProbasTikz[Racine={$A_{1}$},PositionProbas=auto,InclineProbas=false]{%
			$A_{2}$//,$A_{3}$//,$\overline{A_{3}}$//,
			$\overline{A_{2}}$/\num{0.7}/,$A_{3}$//,$\overline{A_{3}}$//%
		}
	\end{Centrage}
	\item Montrer que $p_{3}=0,58$.
	\item Calculer la probabilité conditionnelle $P_{A_{3}}\left(A_{2}\right)$, arrondir le résultat à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B :}

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Dans cette partie, on étudie la suite $\left(p_{n}\right)$ avec $n \geqslant 1$.

\begin{enumerate}
	\item Recopier et compléter les probabilités sur les branches de l'arbre des probabilités ci-dessous :
	
	\begin{Centrage}
		\ArbreProbasTikz[PositionProbas=auto,InclineProbas=false]{%
			$A_{n}$/$p_{n}$/,$A_{n+1}$//,$\overline{A_{n+1}}$//,
			$\overline{A_{n}}$//,$A_{n+1}$//,$\overline{A_{n+1}}$//%
		}
	\end{Centrage}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul : $p_{n+1}=-0,4 p_{n}+0,7$.
		\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$, définie pour tout entier naturel $n$ non nul par : $u_{n}=p_{n}-0,5$.
		\begin{itemize}
			\item Montrer que $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
			\item En déduire l'expression de $u_{n}$, puis de $p_{n}$ en fonction de $n$.
			\item Déterminer la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$.
		\end{itemize}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

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Soit $x \in \IntervalleOF{0}{1}$, on suppose que $P_{\overline{A_{n}}}\left(A_{n+1}\right)=P_{A_{n}}\left(\overline{A_{n+1}}\right)=x$. On rappelle que $p_{1}=1$.

\begin{enumerate}
	\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul : $p_{n+1}=(1-2 x) p_{n}+x$.
	\item Démontrer par récurrence sur $n$ que, pour tout entier naturel $n$ non nul : \[ p_{n}=\frac{1}{2}(1-2 x)^{n-1}+\frac{1}{2}. \]
	\item Montrer que la suite $\left(p_{n}\right)$ est convergente et donner sa limite.
\end{enumerate}
