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\textit{Cet exercice est constitué de trois parties indépendantes.}

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Un magasin est équipé de caisses automatiques en libre-service où le client scanne lui-même ses articles. Le logiciel d'une caisse déclenche régulièrement des demandes de vérification. Un employé du magasin effectue alors un contrôle.

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\textbf{Partie A}

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Le contrôle peut être :
\begin{itemize}
	\item soit « total » : l'employé du magasin scanne alors à nouveau l'ensemble des articles du client ;
	\item soit « partiel » : l'employé choisit alors un ou plusieurs articles du client pour vérifier qu'ils ont bien été scannés.
\end{itemize}

Si un contrôle est déclenché, il s'agit une fois sur dix d'un contrôle total.

En cas de contrôle total, une erreur du client est détectée dans $30\,\%$ des cas.

En cas de contrôle partiel, il n'y a pas d'erreur détectée dans $85\,\%$ des cas.

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Un contrôle est déclenché à une caisse automatique.

On considère les événements suivants :
\begin{itemize}
	\item $T$ : « Le contrôle est un contrôle total » ;
	\item $E$ : « Une erreur est détectée lors du contrôle ».
\end{itemize}

On notera $\overline{T}$ et $\overline{E}$ les événements contraires de $T$ et $E$.

\begin{enumerate}
	\item Construire un arbre pondéré représentant la situation puis déterminer $P\big(\overline{T} \cap E\big)$.
	\item Calculer la probabilité qu'une erreur soit détectée lors du contrôle.
	\item Déterminer la probabilité qu'un contrôle total ait été effectué, sachant qu'une erreur a été détectée. On donnera la valeur arrondie au centième.
\end{enumerate}

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\textbf{Partie B}

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Sur une journée donnée, une caisse automatique déclenche 15 contrôles. La probabilité qu'un contrôle mette en évidence une erreur est $p=0,165$. La détection d'une erreur lors d'un contrôle est indépendante des autres contrôles.

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On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'erreurs détectées lors des contrôles de cette journée.

\begin{enumerate}
	\item On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
	\item Déterminer la probabilité qu'exactement 5 erreurs soient détectées. \textit{On donnera la valeur arrondie au centième.}
	\item Déterminer la probabilité qu'au moins une erreur soit détectée. \textit{On donnera la valeur arrondie au centième.}
	\item On souhaite modifier le nombre de contrôles déclenchés par la caisse de manière à ce que la probabilité qu'au moins une erreur soit détectée chaque jour soit supérieure à $99\,\%$.
	
	Déterminer le nombre de contrôles que doit déclencher la caisse chaque jour pour que cette contrainte soit respectée.
\end{enumerate}

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\textbf{Partie C}

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Le magasin comporte trois caisses automatiques identiques qui, lors d'une journée, ont chacune déclenché 20 contrôles. On note $X_{1}$, $X_{2}$ et $X_{3}$ les variables aléatoires associant à chacune des caisses le nombre d'erreurs détectées lors de cette journée. On admet que les variables aléatoires $X_{1}$, $X_{2}$ et $X_{3}$ sont indépendantes entre elles et suivent chacune une loi binomiale $\mathcal{B}(20 ; 0,165)$.

\begin{enumerate}
	\item Déterminer les valeurs exactes de l'espérance et de la variance de la variable aléatoire $X_{1}$.
	\item On définit la variable aléatoire $S$ par $S=X_{1}+X_{2}+X_{3}$. Justifier que $\Esper{S}=9,9$ et que $\Varianc{S}=\num{8,2665}$.
	\item Pour cette question, on utilisera 10 comme valeur de $\Esper{S}$.
	
	À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que la probabilité que le nombre total d'erreurs sur la journée soit strictement compris entre 6 et 14 est supérieure à $0,48$.
\end{enumerate}


