% bac2025gen-ce-juin-sujet1-exo3.tex
\begin{scontents}[overwrite,write-out=ce2025j1exo3.py]
from math import *

def f(x) :
	return(4*log(1+x)-(x**2)/25)

def bornes(n) :
	p = 1/10**n
	x = 6
	while f(x)-x > 0 :
		x = x+p
	return (x-p, x)
\end{scontents}
\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\IntervalleOO{1}{+\infty}$ par $f(x)=4 \ln (x+1)-\dfrac{x^{2}}{25}$.

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\IntervalleOO{1}{+\infty}$.

\begin{enumerate}
	\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-1$.
	\item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\IntervalleOO{1}{+\infty}$, on a : \[ f^{\prime}(x)=\frac{100-2 x-2 x^{2}}{25(x+1)}. \]
	\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\IntervalleOO{1}{+\infty}$ puis en déduire que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[2;6,5]$.
	\item On considère $h$ la fonction définie sur l'intervalle $[2;6,5]$ par $h(x)=f(x)-x$. On donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction $h$ :
	
	\begin{Centrage}
		\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[espcl=4,deltacl=0.8]{$x$/1,$h(x)$/2}{$2$,$m\approx2{,}364$,$6{,}5$}
			\tkzTabVar{-/$h(2)$,+/$M\approx2{,}265$,-/$h(6{,}5)$}
		\end{tikzpicture}
	\end{Centrage}
	
	Montrer que l'équation $h(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[2 ; 6,5]$.
	\item On considère le script suivant, écrit en langage \textsf{Python} :
	
	\CodePythonLstFichierAlt*[10cm]{center}{ce2025j1exo3.py}
	
	On rappelle qu'en langage \textsf{Python}:
	
	\begin{itemize}
		\item la commande \AffVignette[Type=py]{log(x)} renvoie la valeur $\ln(x)$;
		\item la commande \AffVignette[Type=py]{c**d} renvoie la valeur de $c^{d}$.
	\end{itemize}
	
	\begin{enumerate}
		\item Donner les valeurs renvoyées par la commande \AffVignette[Type=py]{bornes(2)}. On donnera les valeurs arrondies au centième.
		\item Interpréter ces valeurs dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\textbf{Partie B}

\medskip

\textit{Dans cette partie, on pourra utiliser les résultats obtenus dans la \textbf{partie A}.}

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0}=2$ et, pour tout entier naturel $n, u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)$.

\begin{enumerate}
	\item Montrer par récurrence que, pour tout $n$ entier naturel, $2 \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 6,5$.
	\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers une limite $\ell$.
	\item On rappelle que le réel $\alpha$, défini dans la \textbf{partie A}, est la solution de l'équation $h(x)=0$ sur l'intervalle $[2 ; 6,5]$.
	
	Justifier que $\ell=\alpha$.
\end{enumerate}

\vspace*{5mm}
