% bac2025gen-ce-juin-sujet1-exo4.tex
\textbf{Partie A}

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On considère l'équation différentielle $\left(E_{1}\right)$ : $y^{\prime}+0,48 y=\frac{1}{250}$ où $y$ est une fonction de la variable $t$ définie sur l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$.

\begin{enumerate}
	\item On considère la fonction constante $h$ définie sur l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ par $h(t)=\frac{1}{120}$.
	
	Montrer que la fonction $h$ est solution de l'équation différentielle $\left(E_{1}\right)$.
	\item Donner la forme générale des solutions de l'équation différentielle $y^{\prime}+0,48 y=0$.
	\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $\left(E_{1}\right)$.
\end{enumerate}

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\textbf{Partie B}

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On s'intéresse à présent à l'évolution d'une population de bactéries dans un milieu de culture. À un instant $t=0$, on introduit une population initiale de \num{30000} bactéries dans le milieu. On note $p(t)$ la quantité de bactéries, exprimée en millier d'individus, présente dans le milieu après un temps $t$, exprimé en heure. On a donc $p(0)=30$.

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On admet que la fonction $p$ définie sur l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ est dérivable, strictement positive sur cet intervalle et qu'elle est solution de l'équation différentielle $\left(E_{2}\right)$ : \[ p^{\prime}=\frac{1}{250} p \times(120-p). \]
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Soit $y$ la fonction strictement positive sur l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ telle que, pour tout $t$ appartenant à l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$, on a $p(t)=\frac{1}{y(t)}$.

\begin{enumerate}
	\item Montrer que si $p$ est solution de l'équation différentielle $\left(E_{2}\right)$, alors $y$ est solution de l'équation différentielle $\left(E_{1}\right)$ : $y^{\prime}+0,48 y=\frac{1}{250}$.
	\item On admet réciproquement que, si $y$ est une solution strictement positive de l'équation différentielle $\left(E_{1}\right)$, alors $p=\frac{1}{y}$ est solution de l'équation différentielle $\left(E_{2}\right)$. Montrer que, pour tout $t$ appartenant à l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$, on a : \[ p(t)=\frac{120}{1+K \e^{-0,48 t}} \text{ avec } K \text{ une constante réelle.} \]
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	\item En utilisant la condition initiale, déterminer la valeur de $K$.
	\item Déterminer $\lim\limits_{t  \to +\infty} p(t)$. En donner une interprétation dans le contexte de l'exercice.
	\item Déterminer le temps nécessaire pour que la population de bactéries dépasse \num{60000} individus. \textit{On donnera le résultat sous la forme d'une valeur arrondie exprimée en heures et minutes.}
\end{enumerate}
