% bac2025gen-ce-juin-sujet2-exo1.tex
\begin{scontents}[overwrite,write-out=ce2025j2exo1.py]
n = 0
u = 6
v = 6
while ...... :
	u = ......
	v = ......
	n = n + 1
print(2025 + n)
\end{scontents}
On se propose de comparer l'évolution d'une population animale dans deux milieux distincts A et B. Au 1\up{er} janvier 2025, on introduit \num{6000} individus dans chacun des milieux A et B.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette partie, on étudie l'évolution de la population dans le milieu A.

On suppose que dans ce milieu, l'évolution de la population est modélisée par une suite géométrique $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0 = 6$ et de raison $0,93$. Pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente la population au 1\up{er} janvier de l'année $2025 + n$, exprimée en milliers d'individus.

\begin{enumerate}
	\item Donner, selon ce modèle, la population au 1\up{er} janvier 2026.
	\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
	\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

	Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on étudie l'évolution de la population dans le milieu B.

On suppose que dans ce milieu, l'évolution de la population est modélisée par la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_0 = 6$ et pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = -0,05 v_n^2 + 1,1 v_n$.

Pour tout entier naturel $n$, $v_n$ représente la population au 1\up{er} janvier de l'année $2025 + n$, exprimée en milliers d'individus.

\begin{enumerate}
	\item Donner, selon ce modèle, la population au 1\up{er} janvier 2026.
\end{enumerate}

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ par $f(x) = -0,05x^2 + 1,1x$.

\begin{enumerate}
	\setcounter{enumi}{1}
	\item Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[0; 11]$.
	\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $2 \leqslant v_{n+1} \leqslant v_n \leqslant 6$.
	\item En déduire que la suite $\left(v_n\right)$ est convergente vers une limite $\ell$.
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la limite $\ell$ vérifie $f(\ell) = \ell$ puis en déduire la valeur de $\ell$.
		\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Cette partie a pour but de comparer l'évolution de la population dans les deux milieux.

\begin{enumerate}
	\item En résolvant une inéquation, déterminer l'année à partir de laquelle la population du milieu A sera strictement inférieure à \num{3000} individus.
	\item À l'aide de la calculatrice, déterminer l'année à partir de laquelle la population du milieu B sera strictement inférieure à \num{3000} individus.
	\item Justifier qu'à partir d'une certaine année, la population du milieu B dépassera la population du milieu A.

	\begin{wrapstuff}[r,abovesep=-1.25\baselineskip]
		\begin{minipage}{5.25cm}
			{\CodePythonLstFichierAlt*[5cm]{center}{ce2025j2exo1.py}}
		\end{minipage}
	\end{wrapstuff}

	\item On considère le programme \textsf{Python} ci-contre.

	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter ce programme afin qu'après exécution, il affiche l'année à partir de laquelle la population du milieu B est strictement supérieure à la population du milieu A.
		\item Déterminer l'année affichée après exécution du programme.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace*{1.5cm}