% bac2025gen-ce-juin-sujet2-exo4.tex
On se place dans un repère orthonormé $\Rijk$ de l'espace.

On considère les points $A(1; 0; 3)$, $B(-2; 1; 2)$ et $C(0; 3; 2)$.

\begin{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
		\item Soit $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$. Vérifier que le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal au plan $(ABC)$.
		\item En déduire que le plan $(ABC)$ admet pour équation cartésienne $-x + y + 4z - 11 = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne $3x - 3y + 2z - 9 = 0$ et le plan $\mathcal{P}'$ d'équation cartésienne $x - y - z + 2 = 0$.

\begin{enumerate}[resume]
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont sécants. On note $(d)$ leur droite d'intersection.
		\item Déterminer si les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont perpendiculaires.
	\end{enumerate}
	\item Montrer que la droite $(d)$ est dirigée par le vecteur $\vect{u} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$.
	\item Montrer que le point $M(2; 1; 3)$ appartient aux plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$.
	
	En déduire une représentation paramétrique de la droite $(d)$.
	\item Montrer que la droite $(d)$ est aussi incluse dans le plan $(ABC)$.
	
	Que peut-on dire des trois plans $(ABC)$, $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ ?
\end{enumerate}
