% bac2025gen-fr-juin-sujet1-exo2.tex
On considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$. On admet qu'elle est deux fois dérivable sur l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$. On note $f^{\prime}$ sa fonction dérivée et $f^{\prime \prime}$ sa fonction dérivée seconde.

\smallskip

Dans un repère orthogonal, on a tracé ci-dessous :

\begin{itemize}
	\item la courbe représentative de $f$, notée $C_{f}$, sur l'intervalle $\IntervalleOF{0}{3}$ ;
	\item la droite $T_{A}$, tangente à $C_{f}$ au point $A(1; 2)$;
	\item la droite $T_{B}$, tangente à $C_{f}$ au point $B(\e;\e)$.
\end{itemize}

On précise par ailleurs que la tangente $T_{A}$ passe par le point $C(3; 0)$.

\begin{center}
	\begin{GraphiqueTikz}[x=4.25cm,y=2.75cm,Xmin=-0.25,Xmax=3.25,Xgrille=0.2,Xgrilles=0.2,Ymin=-0.85,Ymax=3.5,Ygrille=1,Ygrilles=1]
		%préparation de la fenêtre
		\TracerAxesGrilles[Derriere,Police=\small,Origine]{0.2}{1}
		\draw ([yshift={-\pflthickgrad}]{1},{0}) node[pflnoeud,below left,font={\useKV[GraphiqueTikzAxes]{Police}}] {1} ;
		%déf des fonctions avec nom courbe + nom fonction + expression (tracés à la fin !)
		\DefinirCourbe[Nom=cf,Debut=0.0005,Fin=3]< f >{x*(2*(ln(x))^2-3*ln(x)+2)}
		\DefinirCourbe[Nom=tb]< tb >{2*x-exp(1)}
		\DefinirCourbe[Nom=ta]< ta >{-x+3}
		%intégrale sous une courbe, avec intersection
		\TracerIntegrale[Couleurs=darkgray,Bornes=abs,Style=hachures,Type=fct/fct]{f(x)}[tb(x)]{1}{exp(1)}
		%tracé des courbes et des labels
		\TracerAsymptote[StyleTrace=densely dashed,Couleur=darkgray]{1}
		\TracerAsymptote[StyleTrace=densely dashed,Couleur=darkgray]{exp(1)}
		\TracerCourbe[Couleur=violet]{ta(x)}
		\TracerCourbe[Couleur=blue]{tb(x)}
		\TracerCourbe[Couleur=red,Debut=0.0005,Fin=3]{f(x)}
		\MarquerPts{(1,2)/A/above right,({exp(1)},{exp(1)})/B/above left,(3,0)/C/below left}
		\PlacerTexte[Couleur=red]{(0.2,2.6)}{$C_{f}$}
		\PlacerTexte[Couleur=violet]{(-0.1,3.25)}{$T_{A}$}
		\PlacerTexte[Couleur=blue]{(3.1,3.25)}{$T_{B}$}
		%surimpression des axes
		\TracerAxesGrilles[Devant,Origine]{0.2}{1}
	\end{GraphiqueTikz}
\end{center}

\begin{center}
	\textbf{Partie A : Lectures graphiques}
\end{center}

On répondra aux questions suivantes en les justifiant à l'aide du graphique.

\begin{enumerate}
	\item Déterminer le nombre dérivé $f^{\prime}(1)$.
	\item Combien de solutions l'équation $f^{\prime}(x) = 0$ admet-elle dans l'intervalle $\IntervalleOF{0}{3}$ ?
	\item Quel est le signe de $f^{\prime \prime}(0,2)$?
\end{enumerate}



\begin{center}
	\textbf{Partie B : Étude de la fonction $\bm{f}$}
\end{center}

On admet dans cette partie que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$ par : \[ f(x) = x\left(2(\ln x)^{2} - 3 \ln(x) + 2\right) \]
%
où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

\begin{enumerate}
	\item Résoudre dans $\R$ l'équation $2X^{2} - 3 X + 2 = 0$.
	
	En déduire que $C_{f}$ ne coupe pas l'axe des abscisses.
	\item Déterminer, en justifiant, la limite de $f$ en $+\infty$.
	
	On admettra que la limite de $f$ en 0 est égale à 0.
	\item On admet que pour tout $x$ appartenant à $\IntervalleOO{0}{+\infty}$, $f^{\prime}(x) = 2(\ln x)^{2} + \ln (x) - 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $x$ appartenant à $\IntervalleOO{0}{+\infty}$, $f^{\prime \prime}(x) = \frac{1}{x}(4 \ln (x) + 1)$.
		\item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $\IntervalleOO{0}{+\infty}$ et préciser la valeur exacte de l'abscisse du point d'inflexion.
		\item Montrer que la courbe $C_{f}$ est au-dessus de la tangente $T_{B}$ sur l'intervalle $\IntervalleFO{1}{+\infty}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
	\textbf{Partie C : Calcul d'aire}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item Justifier que la tangente $T_{B}$ a pour équation réduite $y = 2x - \e$.
	\item À l'aide d'une intégration par parties, montrer que $\int_{1}^{\e} x \ln (x) \dx = \frac{\e^{2} + 1}{4}$.
	\item On note $\mathcal{A}$ l'aire du domaine hachuré sur la figure, délimité par la courbe $C_{f}$, la tangente $T_{B}$, et les droites d'équation $x = 1$ et $x = \e$.
	
	On admet que $\int_{1}^{\e} x(\ln (x))^{2} \dx = \frac{\e^{2} - 1}{4}$.
	
	En déduire la valeur exacte de $\mathcal{A}$ en unité d'aire.
\end{enumerate}


