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\textit{Les deux parties peuvent être traitées indépendamment.}

\medskip

Dans cet exercice, on s'intéresse à des personnes venues séjourner dans un centre multisports au cours d'un week-end.

Les résultats des probabilités demandées seront arrondis au millième si nécessaire.

\begin{center}\textbf{Partie A}\end{center}

Le centre propose aux personnes venues pour un week-end une formule d'initiation au roller composée de deux séances de cours. On choisit au hasard une personne parmi celles ayant souscrit à cette formule.

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On désigne par $A$ et $B$ les évènements suivants :

\begin{itemize}
	\item $A$ : \og La personne chute pendant la première séance \fg{}:
	\item $B$ : \og La personne chute pendant la deuxième séance \fg{}.
\end{itemize}

Pour un évènement $E$ quelconque, on note $P(E)$ sa probabilité et $\overline{E}$ son évènement contraire.

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Des observations permettent d'admettre que $P(A)=0,6$.

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De plus on constate que :

\begin{itemize}
	\item Si la personne chute pendant la première séance, la probabilité qu'elle chute pendant la deuxième est de $0,3$ ;
	\item Si la personne ne chute pas pendant la première séance, la probabilité qu'elle chute pendant la deuxième est de $0,4$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
	\item Représenter la situation par un arbre pondéré.
	\item Calculer la probabilité $P\big(\overline{A} \cap \overline{B}\big)$ et interpréter le résultat.
	\item Montrer que $P(B)=0,34$.
	\item La personne ne chute pas pendant la deuxième séance de cours. Calculer la probabilité qu'elle n'ait pas chuté lors de la première séance.
	\item On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 100 personnes ayant souscrit à la formule, associe le nombre d'entre elles n'ayant chuté ni lors de la première ni lors de la deuxième séance. On assimile le choix d'un échantillon de 100 personnes à un tirage avec remise.
	
	On admet que la probabilité qu'une personne ne chute ni lors de la première ni lors de la deuxième séance est de $0,24$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
		\item Quelle est la probabilité d'avoir, dans un échantillon de 100 personnes ayant souscrit à la formule, au moins 20 personnes qui ne chutent ni lors de la première ni lors de la deuxième séance ?
		\item Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie B}\end{center}

On choisit au hasard une personne venue un week-end au centre multisports. On note $T_{1}$ la variable aléatoire donnant son temps d'attente total en minute avant les accès aux activités sportives pendant la journée du samedi, et $T_{2}$ la variable aléatoire donnant son temps d'attente total en minute avant les accès aux activités sportives pendant la journée du dimanche.

On admet que :

\begin{itemize}
	\item $T_{1}$ suit une loi de probabilité d'espérance $\Esper{T_{1}}=40$ et d'écart-type $\sigma\left(T_{1}\right)=10$ ;
	\item $T_{2}$ suit une loi de probabilité d'espérance $\Esper{T_{2}}=60$ et d'écart-type $\sigma\left(T_{2}\right)=16$ ;
	\item les variables aléatoires $T_{1}$ et $T_{2}$ sont indépendantes.
\end{itemize}

On note $T$ la variable aléatoire donnant le temps total d'attente avant les accès aux activités sportives lors des deux jours, exprimé en minute. Ainsi on a $T=T_{1}+T_{2}$.

\begin{enumerate}
	\item Déterminer l'espérance $\Esper{T}$ de la variable aléatoire $T$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
	\item Montrer que la variance $\Varianc{T}$ de la variable aléatoire $T$ est égale à 356.
	\item À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que, pour une personne choisie au hasard parmi celles venues un week-end au centre multisports, la probabilité que son temps total d'attente $T$ soit strictement compris entre 60 et 140 minutes est supérieure à $0,77$.
\end{enumerate}


