% bac2025gen-fr-juin-sujet2-exo2.tex
L'espace est muni d'un repère orthonormé $\Rijk$.

On considère :

\begin{itemize}
	\item les points $A(-1 ; 2 ; 1)$, $B(1 ;-1 ; 2)$ et $C(1 ; 1 ; 1)$;
	\item la droite $d$ dont une représentation paramétrique est donnée par : \[ d~:~\begin{cases} x=\tfrac{3}{2}+2 t \\ y=2+t \\ z=3-t \end{cases}~\text{ avec } t \in \R ;\]
	\item la droite $d’$ dont une représentation paramétrique est donnée par : \[ d'~:~\begin{cases} x=s \\ y=\tfrac{3}{2}+s \\ z=3-2 s \end{cases}~\text{ avec } s \in \R.\]
\end{itemize}

\begin{center}\textbf{Partie A}\end{center}

\begin{enumerate}
	\item Montrer que les droites $d$ et $d'$ sont sécantes au point $S\left(-\dfrac{1}{2} ; 1 ; 4\right)$.
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le vecteur $\vect{n} \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 4\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
		\item En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : \[x+2 y+4 z-7=0.\]
		\item Démontrer que les points $A$, $B$, $C$ et $S$ ne sont pas coplanaires.
	\end{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le point $H(-1 ; 0 ; 2)$ est le projeté orthogonal de $S$ sur le plan $(ABC)$.
		\item En déduire qu'il n'existe aucun point $M$ du plan $(ABC)$ tel que $SM < \frac{\sqrt{21}}{2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie B}\end{center}

On considère un point $M$ appartenant au segment $[CS]$. On a donc $\vect{CM}= k \vect{CS}$ avec $k$ réel de l'intervalle $[0 ; 1]$.

\begin{enumerate}
	\item Déterminer les coordonnées du point $M$ en fonction de $k$.
	\item Existe-t-il un point $M$ sur le segment $[CS]$ tel que le triangle $MAB$ soit rectangle en $M$ ?
\end{enumerate}


