% bac2025gen-fr-juin-sujet2-exo3.tex
\textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\begin{enumerate}
	\item La suite $\left(u_{n}\right)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par : \[u_{n}=\dfrac{1+5^{n}}{2+3^{n}}.\]
	%
	\textbf{Affirmation 1 :} La suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers $\dfrac{5}{3}$.
	\item On considère la suite $(w_{n})$ définie par : \[ w_{0}=0 \text{ et, pour tout entier naturel },~w_{n+1}=3 w_{n}-2 n+3. \]
	%
	\textbf{Affirmation 2 :} Pour tout entier naturel $n$, $ w_{n} \geqslant n$.
	\item On considère la fonction $f$ définie sur $\IntervalleOO{0}{+\infty}$, dont la courbe représentative $C_{f}$ est donnée dans un repère orthonormé sur la figure (\textsf{Fig. 1}). On précise que :

	\begin{itemize}
		\item $T$ est la tangente à $C_{f}$ au point A d'abscisse $8$ ;
		\item l'axe des abscisses est la tangente horizontale à $C_{f}$ au point d'abscisse 1.
	\end{itemize}

	\begin{Centrage}%en test...
		\begin{GraphiqueTikz}[x=1cm,y=1cm,Xmin=-0.8,Xmax=12.8,Xgrille=1,Xgrilles=1,Ymin=-0.8,Ymax=9,Ygrille=1,Ygrilles=1]
			\TracerAxesGrilles[Origine]{1}{1}
			%\DefinirCourbe[Nom=cf,Trace,Couleur=blue]< t >{0.52425*(x-8)+4.3775}
			%\DefinirCourbe[Nom=cf,Trace,Couleur=red,Debut=0.001,Pas=0.01]< f >{-1.366*ln(x)-0.048*x^(2)+1.463*x-1.414}
			\DefinirCourbe[Nom=cf,Trace,Couleur=blue]< t >{0.52*(x-8)+4.35}
			\DefinirCourbe[Nom=cf,Trace,Couleur=red,Debut=0.1,Pas=0.01]< f >{2.1272*ln(x)+0.2918*x-2.711+2.4191/x}
			\DefinirImage[Nom=IMGf]{f}{8}
			\MarquerPts{(IMGf)/$A$/above}
			\PlacerTexte[Couleur=red]{(12.5,6)}{$C_{f}$}
			\PlacerTexte[Couleur=blue]{(12.5,7)}{$T$}
		\end{GraphiqueTikz}

		\textsf{Fig. 1}
	\end{Centrage}

	\textbf{Affirmation 3 :} D'après le graphique, la fonction $f$ est convexe sur son ensemble de définition.
	\item \textbf{Affirmation 4 :} Pour tout réel $x>0$, $\ln (x)-x+1 \leqslant 0$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.
\end{enumerate}


