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\textbf{Partie A}

On considère l'équation différentielle \[ (E)~:~y^{\prime}+0,4 y=\e^{-0,4 t}. \]
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où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$.

\smallskip

On cherche l'ensemble des fonctions définies et dérivables sur $\R$ qui sont solutions de cette équation.

\begin{enumerate}
	\item Soit $u$ la fonction définie sur $\R$ par : $u(t)=t\,e^{-0,4 t}$.
	
	Vérifier que $u$ est solution de $(E)$.
	\item Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. On note $g$ la fonction définie sur $\R$ par : $g(t)=f(t)-u(t)$.
	
	\smallskip
	
	Soit $(H)$ l'équation différentielle $y^{\prime}+0,4 y=0$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que si la fonction $g$ est solution de l'équation différentielle $(H)$ alors la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.
	\end{enumerate}
	
	On admettra que la réciproque est vraie.
	
	\begin{enumerate}[resume]
		\item Résoudre l'équation différentielle $(H)$.
		\item En déduire les solutions de $(E)$.
		\item Déterminer la solution $f$ de $(E)$ telle que $f(0)=1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

On s'intéresse à la glycémie chez une personne venant de prendre un repas.

\smallskip

La glycémie en g.L$^{-1}$, en fonction du temps $t$, exprimé en heure, écoulé depuis la fin du repas, est modélisée par la fonction $f$ définie sur $\IntervalleFF{0}{6}$ par : \[ f(t)=(t+1) \e^{-0,4 t}. \]

\begin{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $t \in \IntervalleFF{0}{6}$, $f^{\prime}(t)=(-0,4 t+0,6) \e^{-0,4 t}$.
		\item Étudier les variations de $f$ sur $\IntervalleFF{0}{6}$ puis dresser son tableau de variations sur cet intervalle.
	\end{enumerate}
	\item Une personne est en hypoglycémie lorsque sa glycémie est inférieure à $0,7~\mathrm{g}.\mathrm{L}^{-1}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que sur l'intervalle $\IntervalleFF{0}{6}$ l'équation $f(t)=0,7$ admet une unique solution que l'on notera $\alpha$.
		\item Au bout de combien de temps après avoir pris son repas cette personne est-elle en hypoglycémie ?
		
		On exprimera ce temps à la minute près.
	\end{enumerate}
	\item On souhaite déterminer la glycémie moyenne en g.L$^{-1}$ chez cette personne lors des six heures qui suivent le repas.
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide d'une intégration par parties, montrer que : \[ \int_{0}^{6} f(t) \dx[t] = -23,75 \e^{-2,4}+8,75.\]
		\item Calculer la glycémie moyenne en g.L$^{-1}$ chez cette personne lors des six heures qui suivent le repas.
		\item En remarquant que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$, expliquer comment on aurait pu obtenir ce résultat autrement.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


