% bac2025gen-fr-septembre-sujet1-exo2.tex
On considère le cube $ABCDEFGH$.

\smallskip

On place le point $M$ tel que $\Vecteur{BM}=\Vecteur{AB}$.

\begin{Centrage}
	\begin{tikzpicture}[x={(-7:3.5cm)},y={(25:2cm)},z={(90:3.85cm)}]
		%placement des points avec labels
		\PlacePointsEspace{A/0,0,0/bg B/1,0,0/b C/1,1,0/d D/0,1,0/hd E/0,0,1/g F/1,0,1/h G/1,1,1/hd H/0,1,1/h M/2,0,0/d}
		\PlacePointEspace*{U}{1,1,0.2}
		%segments pointillés
		\TraceSegmentsEspace[thick,dashed]{B/C C/U C/D D/H A/D}
		%segments pleins
		\TraceSegmentsEspace[thick]{A/B B/F F/E E/A E/H H/G G/F G/U B/M F/M}
		%Marques points
		%\MarquePointsEspace{A,B,C,D,E,F,G,H,M}
	\end{tikzpicture}
\end{Centrage}

\medskip

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
	\item Montrer que les droites $(FG)$ et $(FM)$ sont perpendiculaires.
	\item Montrer que les points $A$, $M$, $G$ et $H$ sont coplanaires.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

On se place dans le repère orthonormé $\RepereEspace{A}{AB}{AD}{AE}$.

\begin{enumerate}
	\item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\Vecteur{GM}$ et $\Vecteur{AH}$ et montrer qu'ils ne sont pas colinéaires.
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite $(GM)$ est : \[ \begin{cases} x=1+t \\ y=1-t \\ z=1-t \end{cases} \text{ avec } t \in \R. \]
		\item On admet qu'une représentation paramétrique de la droite $(AH)$ est : \[ \begin{cases} x=0 \\ y=k \\ z=k \end{cases} \text{ avec } k \in \R. \]
		Montrer que le point d'intersection de $(GM)$ et $(AH)$, que l'on nommera $N$, a pour coordonnées $(0 ; 2 ; 2)$.
	\end{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le triangle $AMN$ est un triangle rectangle en $A$.
		\item Calculer l'aire de ce triangle.
	\end{enumerate}
	\item Soit $J$ le centre de la face $BCGF$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du point $J$.
		\item Montrer que le vecteur $\Vecteur{FJ}$ est un vecteur normal au plan $(AMN)$.
		\item Montrer que $J$ appartient au plan $(AMN)$. En déduire qu'il est le projeté orthogonal du point $F$ sur le plan $(AMN)$.
	\end{enumerate}
	\item On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'un tétraèdre ou d'une pyramide est donné par la formule : \[ \mathcal{V}=\frac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h \]
	%
	$\mathcal{B}$ étant l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à cette base.
	Montrer que le volume du tétraèdre $AMNF$ est le double du volume de la pyramide $BCGFM$.
\end{enumerate}

\vspace*{0.5cm}
