% bac2025gen-fr-septembre-sujet1-exo3.tex
\begin{scontents}[overwrite,write-out=fr2025rj1exo3.py]
from math import *

def rang(a) :
	u = 6
	n = 0
	while u >= a :
		u = sqrt(3*u - 2)
		n = n + 1
	return n
\end{scontents}
Le but de cet exercice est d'étudier les convergences de deux suites vers une même limite.

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\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\IntervalleFO{2}{+\infty}$ par $f(x)=\sqrt{3 x-2}$.

\begin{enumerate}
	\item Justifier les éléments du tableau de variations ci-dessous :
	
	\begin{Centrage}
		\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit{$x$/1,$f$/2}{$2$,$+\infty$}
			\tkzTabVar{-/$2$,+/$-\infty$}
		\end{tikzpicture}
	\end{Centrage}
	
	On admet que la suite $\left(u_{n}\right)$ vérifiant $u_{0}=6$ et, pour tout $n$ entier naturel, $u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)$ est bien définie.
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout $n$ entier naturel : $2 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n} \leqslant 6$.
		\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge.
	\end{enumerate}
	\item On appelle $\ell$ la limite de $\left(u_{n}\right)$.
	
	On admet qu'elle est solution de l'équation $f(x)=x$.
	
	Déterminer la valeur de $\ell$.
	\item On considère la fonction \AffVignette[Type=py]{rang} écrite ci-dessous en langage \AffVignette[Type=py]{Python}.
	
	\CodePythonLstFichierAlt[8cm]{center}{fr2025rj1exo3.py}
	\begin{enumerate}
		\item Pourquoi peut-on affirmer que \AffVignette[Type=py]{rang(2.000001)} renvoie une valeur ?
		\item Pour quelles valeurs du paramètre \AffVignette[Type=py]{a} l'instruction \AffVignette[Type=py]{rang(a)} renvoie-t-elle un résultat ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

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On admet que la suite $\left(v_{n}\right)$ vérifiant $v_{0}=6$ et, pour tout $n$ entier naturel, $v_{n+1}=3-\frac{2}{v_{n}}$ est bien définie.

\begin{enumerate}
	\item Calculer $v_{1}$.
	\item Pour tout $n$ entier naturel, on admet que $v_{n} \neq 2$ et on pose : \[ w_{n}=\frac{v_{n}-1}{v_{n}-2}. \]
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(w_{n}\right)$ est géométrique de raison 2 et préciser son premier terme $w_{0}$.
		\item On admet que, pour tout $n$ entier naturel, \[ w_{n}-1=\frac{1}{v_{n}-2}. \]
		%
		En déduire que, pour tout $n$ entier naturel, \[ v_{n}=2+\frac{1}{1,25 \times 2^{n}-1}. \]
		\item Calculer la limite de $\left(v_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
	\item Déterminer le plus petit entier naturel $n$ pour lequel $v_{n} < 2,01$ en résolvant l'inéquation.
\end{enumerate}

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\textbf{Partie C}

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À l'aide des parties précédentes, déterminer le plus petit entier $N$ tel que pour tout $n \geqslant N$, les termes $v_{n}$ et $u_{n}$ appartiennent à l'intervalle $\IntervalleOO{1,99}{2,01}$.


