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El Niño est un phénomène océanique à grande échelle du Pacifique équatorial qui affecte le régime des vents, la température de la mer et les précipitations sur l'ensemble du globe. Certaines années, ce phénomène est dit « dominant ». Les scientifiques cherchent à modéliser l'apparition de ce phénomène.

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\hfill{}\textit{Dans cet exercice, les parties \textbf{A} et \textbf{B} sont indépendantes.}\hfill\null

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\textbf{Partie A - Premier modèle}

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À partir d'un échantillon de données, on considère une première modélisation :

\begin{itemize}
	\item chaque année, la probabilité que le phénomène El Niño soit dominant est égale à $0,4$ ;
	\item la survenue du phénomène El Niño se fait de façon indépendante d'une année sur l'autre.
\end{itemize}

On note $X$ la variable aléatoire qui, sur une période de 10 ans, associe le nombre d'années où El Niño est dominant.

\begin{enumerate}
	\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que, sur une période de 10 ans, le phénomène El Niño soit dominant exactement 2 années.
		\item Calculer $P(X \leqslant 2)$. Que signifie ce résultat dans le contexte de l'exercice ?
	\end{enumerate}
	\item Calculer $\Esper{X}$. Interpréter ce résultat.
\end{enumerate}

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\textbf{Partie B - Second modèle}

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Après une étude d'un recueil de données plus important sur les 50 dernières années, une autre modélisation apparaît plus pertinente :

\begin{itemize}
	\item si le phénomène El Niño est dominant une année, alors la probabilité qu'il le soit encore l'année suivante est $0,5$ ;
	\item par contre, si le phénomène El Niño n'est pas dominant une année, alors la probabilité qu'il soit dominant l'année suivante est $0,3$.
\end{itemize}

On considère que l'année de référence est 2023. On note pour tout entier naturel $n$ :

\begin{itemize}
	\item $E_{n}$ l'événement « le phénomène El Niño est dominant l'année $2023+n$ » ;
	\item $p_{n}$ la probabilité de l'événement $E_{n}$.
\end{itemize}

En 2023, El Niño n'était pas dominant. On a ainsi $p_{0}=0$.

\begin{enumerate}
	\item Soit $n$ un entier naturel. Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant :
	
	\begin{Centrage}
		\ArbreProbasTikz[PositionProbas=auto,InclineProbas=false]{%
			$E_{n}$/$p_{n}$/,$E_{n+1}$/\numdots/,$\overline{E_{n+1}}$/\numdots/,
			$\overline{E_{n}}$/\numdots/,$E_{n+1}$/\numdots/,$\overline{E_{n+1}}$/\numdots/%
			}
	\end{Centrage}
	\item Justifier que $p_{1}=0,3$.
	\item En vous aidant de l'arbre, montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : \[ p_{n+1}=0,2 p_{n}+0,3. \]
\end{enumerate}

On cherche à prévoir l'évolution de l'apparition du phénomène El Niño.

\begin{enumerate}[resume]
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Conjecturer les variations et la limite éventuelle de la suite $\left(p_{n}\right)$.
		\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $p_{n} \leqslant \frac{3}{8}$.
		\item Déterminer le sens de variation de la suite $\left(p_{n}\right)$.
		\item En déduire la convergence de la suite $\left(p_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

On cherche à déterminer la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$.

\begin{enumerate}[resume]
	\item Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{n}=p_{n}-\frac{3}{8}$ pour tout entier naturel $n$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est géométrique de raison $0,2$ et préciser son premier terme.
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $p_{n}=\frac{3}{8}\left(1-0,2^{n}\right)$.
		\item Calculer la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$.
		\item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


