% bac2025gen-fr-septembre-sujet2-exo3.tex
\begin{scontents}[overwrite,write-out=fr2025rj2exo3.py]
from math import *

def A(x) :
	return 10 * log(-1 * x**2 + 7*x + 9)

def pluspetitevaleur(k) :
	x = 3.5
	while A(x) ............ :
		x = x + 0.1
	return .............
\end{scontents}
On considère la fonction $f$ définie sur $\IntervalleOF{0}{8}$ par \[ f(x)=\frac{10 \ln \left(-x^{2}+7 x+9\right)}{x}. \]
%
Soit $C_{f}$ la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $\Rij$.

\medskip

\textbf{Partie A}

\smallskip

\begin{enumerate}
	\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation $-x^{2}+7 x+8 \geqslant 0$.
	\item En déduire que pour tout $x \in \IntervalleOF{0}{8}$, on a $f(x) \geqslant 0$.
	\item Interpréter graphiquement ce résultat.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La courbe $C_{f}$ est représentée ci-dessous.

Soit $M$ le point de $C_{f}$ d'abscisse $x$ avec $x \in \IntervalleOF{0}{8}$.

On appelle $N$ et $P$ les projetés orthogonaux du point $M$ respectivement sur l'axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées.

Dans cette partie, on s'intéresse à l'aire $A(x)$ du rectangle $ONMP$.

\begin{Centrage}
	\begin{GraphiqueTikz}[x=0.9cm,y=0.9cm,Xmin=0,Xmax=8.3,Xgrille=1,Xgrilles=0.2,Ymin=0,Ymax=9.8,Ygrille=1,Ygrilles=0.2]
		\TracerAxesGrilles[Police=\footnotesize]{1,...,8}{1,...,9}
		\DefinirCourbe[Debut=2,Fin=8]<f>{10*ln(-x^2+7*x+9)/x}
		\TracerCourbe[Couleur=red,Debut=2,Fin=8]{f(x)}
		%rectangle
		\draw[very thick,fill=orange,fill opacity=0.125] (6.8,0) rectangle++(-0.4,0.4) ;
		\draw[very thick,fill=orange,fill opacity=0.125] (0,{\xintfloateval{f(6.8)}}) rectangle++(0.4,-0.4) ;
		\draw[very thick,fill=blue,fill opacity=0.125] (0,0) rectangle (6.8,{\xintfloateval{f(6.8)}}) ;
		%labels
		\MarquerPts[Couleur=black]{(6.8,{\xintfloateval{f(6.8)}})/M/above right}
		\PlacerTexte[Couleur=red,Police=\large]{(4.25,8.25)}{$C_f$}
		\PlacerTexte[Couleur=blue,Position=left]{(0,{\xintfloateval{f(6.8)}})}{$P$}
		\PlacerTexte[Couleur=blue,Position=below left]{(6.8,0)}{$N$}
		\PlacerTexte[Couleur=blue,Position=below left]{(0,0)}{$O$}
		\draw[very thick,->,>=latex] (0,0)--++(1,0) node[midway,below,font=\footnotesize] {$\vec{\imath}$} ;
		\draw[very thick,->,>=latex] (0,0)--++(0,1) node[midway,left,font=\footnotesize] {$\vec{\jmath}$} ;
	\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}

\begin{enumerate}
	\item Donner les coordonnées des points N et P en fonction de $x$.
	\item Montrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\IntervalleOF{0}{8}$, \[ A(x)=10 \ln \left(-x^{2}+7 x+9\right). \]
	\item Existe-t-il une position du point $M$ pour laquelle l'aire du rectangle $ONMP$ est maximale ? Si elle existe, déterminer cette position.
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On considère un réel strictement positif $k$.

On souhaite déterminer la plus petite valeur de $x$, approchée au dixième, appartenant à $\IntervalleFF{3.5}{8}$ pour laquelle l'aire $A(x)$ devient inférieure ou égale à $k$.

Pour ce faire, on considère l'algorithme ci-dessous.

Pour rappel, en langage \AffVignette[Type=py]{Python}, \AffVignette[Type=py]{ln(x)} s'écrit \AffVignette[Type=py]{log(x)}.

\CodePythonLstFichierAlt[10cm]{center}{fr2025rj2exo3.py}

\begin{enumerate}
	\item Recopier et compléter les lignes \texttt{8} et \texttt{10} de l'algorithme.
	\item Quel nombre renvoie alors l'instruction \AffVignette[Type=py]{pluspetitevaleur(30)} ?
	\item Que se passe-t-il lorsque \AffVignette[Type=py]{k} vaut \AffVignette[Type=py]{35} ? Justifier.
\end{enumerate}


