% bac2025gen-fr-septembre-sujet2-exo4.tex
L'espace est rapporté à un repère orthonormé $\Rijk$.

On considère les points $A(4 ;-1 ; 3)$, $B(-1 ; 1 ;-2)$, $C(0 ; 4 ; 5)$ et $D(-3 ;-4 ; 6)$.

\begin{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que les points $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés.
	\end{enumerate}
	
	On admet qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $29 x+30 y-17 z=35$.
	\begin{enumerate}[resume]
		\item Les points $A$, $B$, $C$, $D$ sont-ils coplanaires? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

On admet que lorsque quatre points ne sont pas coplanaires, il existe un unique point situé à égale distance de ces quatre points.

L'objectif de cet exercice est de déterminer le point H se situant à égale distance des quatre points $A$, $B$, $C$, $D$.

\smallskip

On définit le plan médiateur d'un segment comme le plan passant par le milieu de ce segment et orthogonal à la droite portant ce segment. C'est l'ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment.

\begin{enumerate}[resume]
	\item Soit $P_{1}$ le plan médiateur du segment $[A B]$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées du milieu du segment $[AB]$.
		\item En déduire qu'une équation cartésienne de $P_{1}$ est : $5 x-2 y+5 z=10$.
	\end{enumerate}
	\item On note $P_{2}$ le plan médiateur du segment $[CD]$.
	\begin{enumerate}
		\item Soit $M$ un point du plan $P_{2}$ de coordonnées $(x ; y ; z)$.
		
		Exprimer $MC^{2}$ et $MD^{2}$ en fonction des coordonnées de $M$.
		
		En déduire qu'une équation cartésienne du plan $P_{2}$ est : $-3 x-8 y+z=10$.
		\item Justifier que les plans $P_{1}$ et $P_{2}$ sont sécants.
	\end{enumerate}
	\item Soit $\Delta$ la droite dont une représentation paramétrique est : \[ \begin{cases} x=-2-1,9 t \\ y=t \\ z=4+2,3 t \end{cases} \text{où } t \in \R. \]
	%
	Démontrer que $\Delta$ est la droite d'intersection de $P_{1}$ et $P_{2}$.
\end{enumerate}

On note $P_{3}$ le plan médiateur du segment $[AC]$.

On admet qu'une équation cartésienne du plan $P_{3}$ est : $8 x-10 y-4 z=-15$.

\begin{enumerate}[resume]
	\item Démontrer que la droite $\Delta$ et le plan $P_{3}$ sont sécants.
	\item Justifier que le point d'intersection entre $\Delta$ et $P_{3}$ est le point $H$.
\end{enumerate}
