% bac2025gen-nouvcal-novembre-sujet1-exo2.tex
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\Rijk$, on considère les points :
\[ A(4; -4; 4),~ B(5; -3; 2),~ C(6; -2; 3) \text{ et } D(5; 1; 1). \]
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\begin{enumerate}
	\item Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
	\item Justifier qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : \[ x - y - 8 = 0. \]
	\item On note $d$ la droite passant par le point $D$ et orthogonale au plan $(ABC)$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.
		\item On note $H$ le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$.
		
		Déterminer les coordonnées du point $H$.
		\item Montrer que $DH = 2\sqrt{2}$.
	\end{enumerate}
	\item Montrer que le volume de la pyramide $ABCD$ est égal à 2.
	
	\smallskip
	
	\emph{On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'une pyramide se calcule à l'aide de la formule : \[ \mathcal{V} = \frac13 \times \mathcal{B} \times h \]
	%
	où $\mathcal{B}$ est l’aire d’une base de la pyramide et $h$ la hauteur correspondante.}
	\item On admet que l'aire du triangle $BCD$ est égale à $\dfrac{\sqrt{42}}{2}$.
	
	En déduire la valeur exacte de la distance du point $A$ au plan $(BCD)$.
\end{enumerate}


